Matematické Fórum

riget · 15. 02. 2011 16:43

Ahoj potřebuju poradit s tímto příkladem.

Máme pravidelný 6-boký jehlan, kde hrana podstav má délku 1 a výška jehlanu je taky 1. Jaký úhel svírají 2 boční strany mezi sebou.

Bohužel mě nenapadá žádný postup, tak pokud byste mi mohli poradit jak na to.

Cynyc · 16. 02. 2011 03:28

Záleží na tom, jaký aparát můžeš použít. Pokud můžeš zvolit repér (souřadnou soustavu) a použít analytickou geometrii, je to docela jednoduchý, pokud můžeš používat jen klasickou školskou stereometrii, je to dost vopruz.

stenly · 16. 02. 2011 08:33

↑ riget:Máš na mysli dvě podstavové strany,nebo dvě boční stěny?

riget · 16. 02. 2011 11:58

Jedná se o dvě boční stěny.

Jo můžu použít souřadnou soustavu a analytickou geometrii. Taky mě napadlo jít na to přes tohle, ale prostě se nedokážu nijak od ničeho odpíchnout.

Cynyc · 17. 02. 2011 19:17 — Editoval Cynyc (19. 02. 2011 17:52)

↑ riget: Předpokládám, že v zadání je překlep a jde o zjištění úhlu, který svírají boční stěny, protože jinak je to triviální. Takže si zvolíme repér. Podstavu položíme do roviny $xy$ , její střed bude počátkem soustavy souřadnic a budeme ho značit O. Vrcholy podstavy označíme $A_1,\dots,A_6$ . Protože podstava je pravidelný šestiúhelník, tvoří O s každou stranou podstavy rovnostranný trojúhelník a vzdálenost O od každého vrcholu podstavy je 1. Zvolíme tedy např. $A_1=[1,0,0]$ a ostatní body podstavy jsou tím už jednoznačně dány - nejjednodušší je představit si podstavu jako vepsanou do jednotkové kružnice, kde vrcholy podstavy reprezentují úhly, které jsou násobky $\pi/3$ . Jejich souřadnice v rovině $xy$ jsou pak kosinus a sinus příslušného úhlu, takže $A_2=[1/2,\sqrt{3}/2,0]$ , $A_3=[-1/2,\sqrt{3}/2,0]$ , $A_4=[-1,0,0]$ , $A_5=[-1/2,-\sqrt{3}/2,0]$ , $A_6=[1/2,-\sqrt{3}/2,0]$ . Vrchol jehlanu je $V=[0,0,1]$ .
Nyní k samotné úloze. Úhel mezi (polo)rovinami je úhel mezi (polo)přímkami v těchto rovinách, kolmými na průsečnici těchto (polo)rovin. Budeme tedy např. hledat bod T na úsečce $A_1V$ takový, že $\overrightarrow{A_2T}\perp \overrightarrow{A_1V}$ (a tím ze symetrie i $\overrightarrow{A_6T}\perp \overrightarrow{A_1V}$ ) a pak vypočteme velikost úhlu $\sphericalangle A_2TA_6$ .
Kolmost je definována jako nulovost skalárního součinu. Vyjádříme si tedy obecně bod X na přímce $A_1V$ jako $X=A_1+t\overrightarrow{A_1V}$ (parametrické vyjádření přímky) a budeme zkoumat, pro které $t$ je $\overrightarrow{A_2X}\cdot\overrightarrow{A_1V}=0$ .

a tedy $T=[1,0,0]+\frac{1}{4}(-1,0,1)=[\frac{3}{4},0,1]$ . Nyní už můžeme zjistit úhel $\alpha$ sevřený vektory $TA_2$ a $TA_6$ :

a odtud

Tlacenka

No kdyz vidim jak je to tu krasne rozepsane a vzpomenu si ze toto zadani sem uz nekde videl a vim ze u toho testu bylo ze se nesmi pouzivat kalkulacka a ja se do toho bez ni ani poustet radsi nechtel tak myslim ze sem asi nakonec udelal dobre :D. Pac stejne by z toho clovek nemel plnej pocet bodu :) ale to je OT sry :) jinak dekuji za postup

Cynyc · 17. 02. 2011 20:16

↑ Tlacenka: Díky :)

ajucha · 06. 06. 2011 20:54

↑ Cynyc:
Nešlo by to také počítat tak, ze su udelam rovnice 2 rovin,například roviny A_1 A_2 V a roviny A_1 A_6 V a poté si z nich vyjádřím normálové vekotry a podle vzorce: cos uhel=(|n_1*n_2|)/(|n_1||n_2|)
Zkousela jsem to tak pocitat,ale nevychazelo mi to, tak mozna jsem udelala nekde pocetni chybu...

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2011 16:43

Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#2 16. 02. 2011 03:28

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#3 16. 02. 2011 08:33

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#4 16. 02. 2011 11:58

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#5 17. 02. 2011 19:17 — Editoval Cynyc (19. 02. 2011 17:52)

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#6 17. 02. 2011 19:24 — Editoval Tlacenka (17. 02. 2011 19:26)

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#7 17. 02. 2011 20:16

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

#8 06. 06. 2011 20:54

Re: Odchylka dvou stran v pravidelném 6-bokém jehlanu

Zápatí