Matematické Fórum

jancidubova

Pekne nedelne poludnie !
vikend sa blizi ku koncu a ja stale pocitam, ale stale sa objavuju problemy, ako napr. s tymto integralom, asi moc tazky nie je, kedze nie je ani napoveda pri vysledku, ale asi tou "prepracovanostou" mi to uz nemysli, resp na vyriesenie integralu uz existuje tolko metod, ze neviem co by sa hodilo... dost si pomaham s Wolfram, resp Maw-akurat tam pisu ze pre zlozitejsie uz nie je moc vhodny .... a tentokrat ani wolfram nedal pozadovany vysledok
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 281%2F2%29
(resp wolfram casto ide na to dost zlozitou cestou mnohokrat to ide aj jednoduchsie, vsake v tychto pripadoch dava vcelku narocne upravy cey trigonometriu...)
$\int \frac{x^2+1}{x\sqrt{x^4+1}}dx$
pravdepodobne "special"upraveny vysledok: $\frac{1}{2}\ln$\frac{x^2+\sqrt{1+x^4}}{1+\sqrt{1+x^4}}$+C$
Dalujem ... (tento Te-X je fuska, v jednej zatvorke sa clovek pomyli miesto svorky jednoducha a potom hladaj v celom vyraze chybu :) )

/12 :15/ no ako sledujem to riesenie vo wolframe, tak zase "nie prvykrat" ma sklamal ... vsak $\int \frac{1} {x^2-1}$ wolfram zoberie na -tanhyp x ,ale vsak da sa ist aj na vzorec logaritmu, myslim, len su prehodene cleny v zlomku... resp staci vynat minus a je to presne tabulkovy vyorec

/12:50 / dalsie sokujuce zistenie ... wolfram podla vsetkeho nepozna ani vzorec $\int \frac{1}{\sqrt {x^2\pm1}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm1}|+C$

...ak su moje uvahy spravne, tak som sa pomaly prepracoval k vysledku , ale este mi to nesedi presne s tym co je v zadani... tak to vypoda ze dnesok sa zapise ako dalsi, s novou zivotnou skusenostou a to- vsetko 100% sledovat, napr aj stroj ktory "ma na vsetko odpoved" WOLFRAMALPHIA ...

claudia · 06. 03. 2011 13:41

Bohužel se mi nepodařilo zjistit, jaký je dotaz :-)

jancidubova · 06. 03. 2011 14:38

↑ claudia:no , da sa tak povedat, ze na otazku som si odpovedal vcelku sam, az nato , ze moj vysledok v zosite po zintegrovani tych ciastkvych vysledkov sa uplne nezhoduje s tym z knizky ... este akurat to napisat v TeX-e ( ten moj vysledok)

claudia

To je potom spíše téma na blog než do fóra :-)

Výsledek integrace není jednoznačně určen. Může se lišit o konstantu a může být zcela jinak zapsán (za použití jiných elementárních funkcí).

$\int \frac{x^2+1}{x\sqrt{x^4+1}}dx = \underbrace{\int \frac{1}{x\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x}_A + \underbrace{\int \frac{x}{\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x}_B$

$A=\int \frac{1}{x\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x \stackrel{t=x^4}{=} \int \frac{1}{x\sqrt{t+1}\cdot 4x^3}\mathrm{d}t= \frac{1}{4} \int \frac{1}{t\sqrt{t+1}}\mathrm{d}t$

$B=\int \frac{x}{\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x \stackrel{u=x^2}{=} \int \frac{x}{\sqrt{u^2+1}\cdot 2x}\mathrm{d}u = \frac1{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\mathrm{d}u$

jelena · 06. 03. 2011 15:09

milá kolegynka Claudia napsal(a):
To je potom spíše téma na blog než do fóra :-)

:-) to ano, ale když já blog nemám, na Facebooku nejsem, Skype zapínám z donucení, TV nesleduji, tak jsem vděčná, že kolega na moji prosbu poinformuje, jaké je počásí v Sedliacké Dubové.

Čítelnost matematických zápisů se také vylepšila, uznej :-)

↑ jancidubova:

ještě k tomu, co píše kolegyňka ↑ claudia: (děkuji), wolfram pod výpočtem upřesňuje např. co to je $\sinh^{-1}x$ a nabizí definice, např. (problémový vzorec je již uveden). U výsledků také bývá "Alternate form" atd. Tedy teď jsem se zastala i stroje.

Ať se vede.

halogan · 06. 03. 2011 15:11

↑ claudia:

Pro názornost je to sice docela dobré, ale obecně není moc dobré míchat původní proměnnou a tu v substituci dohromady, když integujeme podle právě jedné z nich. Alespoň nás za to kárali.

K postupu námitky samozřejmě nemám, jako vždy super :-)

jancidubova

Dakujem za zaujem o tento problem vsetkym zainteresovanym, mal som dlhsiu poobednajsiu pauzu od vsetkeho, tak sa ospravedlnujem za nedodanie rychlejsich odpovedi :)

$A=\int \frac{1}{x\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x \stackrel{t=x^4}{=} \int \frac{1}{x\sqrt{t+1}\cdot 4x^3}\mathrm{d}t= \frac{1}{4} \int \frac{1}{t\sqrt{t+1}}\mathrm{d}t$
takze nasledovala substitucia $t+1=u$ a substitucia $k=\sqrt{u}$ takze $dk=\frac{du}{2\sqrt{u}}$ cize vlatne $dk=\frac{du}{2k}$ cim sa vyraz upravi na $\frac18\int\frac{dk}{k^2-1}$ vynatim $-$ sa nam menovatel zmeni na $1-k^2$ a tak pouzitim vzorca vyjde $-\frac{1}{16}\ln|\frac{k-1}{k+1}|$ ... po navrate k povodnym premennym sa ale bude musiet zase vyrobit nejaky trik s pravidlami logaritmovania, kedze to vyslo trosku inac...
ten integral $B$ to je uz rovno tabulkovy vzorec... cakaju ma este dalsie priklady, uz ma moc nebavi sa s vysledkom sa bavit, ak chcem stihnut kazdy priklad preratat, ked sa pri niektorom aj hodinu zdrzim je to riadny zabijak casu :)

\21:55\ kedze som uz "presiel"vsetkymi prikladmi, teraz si ich spatne prechadzam, a zistujem zas, dalsiu negativnu skusenost zbytocneho trigonometrickeho substitovania, tam kde sa to da riesit uplne analogicky ako na zaciatku ... $\int\frac{x+x^3}{\sqrt{1+x^2-x^4}}dx$ / teda rozdelit na 2 integraly, prvy upravou na stvorec dat na ARCSIN, a ten 2 x substituciou priviest do stavu,ked bude opat rozlozitelny na 2 integraly-no cuduj sa svete wolfram tentokrat nerozdelil na 2 ale pekne krasne cez trigonometriu ... a tym padom dalsie substitucie..., takze vcera som "zuril ako sa to zlozito rata"a dnes opat zurim ze som si to nevsimol a slepo posluchal wolfram v kazdom jeho kroku ... a potom pride pisomka a zase sa vydam tou wolframovskou cestou a opat 0 bodov...
(prepacte za tolke vypisovanie,ale ja som taky "zhovorcivy"ked som na intraku sam tak aspon s niekym kontakt...a aj sa snazim vela vyrazov pisat -aby som trenoval TEX ;) ) pekny vecer...

jancidubova · 06. 03. 2011 22:08

tak, oznacit ci neoznacit ako vyrieseny ? , alebo pokracujeme v diskusii na temu "uzivatelska prirucka WOLFRAM-u a aplikacia v praxi " :) ?

claudia · 06. 03. 2011 22:20

halogan napsal(a):
↑ claudia:

Pro názornost je to sice docela dobré, ale obecně není moc dobré míchat původní proměnnou a tu v substituci dohromady, když integujeme podle právě jedné z nich. Alespoň nás za to kárali.

K postupu námitky samozřejmě nemám, jako vždy super :-)

Děkuji, já se učila integrovat sama (tady na fóru :-), takže mě za to neměl kdo kárat. Ale teď k neurčitému integrálu dospěl i prof. Zajíček na přednášce a ten dokonce, snad jeho slova neinterpretuji špatně, říkal, že tam není korektní psát rovnost ani v případě, že se proměnné nemíchají. Tak opravdu nevím, jak to napsat zároveň srozumitelně a zároveň správně.

Prof. Zajíček nabízel značení:

$\int \frac{1}{x\sqrt{x^4+1}}\mathrm{d}x = \int \frac{1}{t\sqrt{t+1}}\mathrm{d}t \Bigg|_{t=x^4}$

ale nepostřehla jsem, že by kdy zavedl, co taková svislá čára znamená (mimo restrikce funkce, ale tohle mi přijde jiné), takže to taky raději nepoužívám, když nevím, co to je :-) Nicméně ráda si o tom poslechnu jakékoli podrobnosti.

halogan · 06. 03. 2011 22:45

↑ claudia:

Nemám matematické vzdělání, ale my používali takovéto značení na statistice jako určení "oboru platnosti" nějaké rovnosti či definice. Tedy něco jako restrikce funkce, o které píšeš.

Ntý moment jsme měli definovaný jako

$m_n = \frac{d^n}{dt^n} m_{X} (t) \Bigg|_{t=0}$ ,

kde bylo jasné, že se nula dosazuje až na konci, jinak by to pozbývalo smyslu.

jelena · 06. 03. 2011 23:41

↑ milý kolega Ondřej:

skromnost je hezká vlastnost :-)

↑ claudia:

za míchání promenných kárám také :-) Že se to "nerovná" vysvětlovalo tak, že by se muselo vypsat všech podmínek pro promennou v substituci. Ale k matematice mám velmi daleko (jen si zrovna toto pamatuji, protože by se opravdu od zkoušky vyhodilo).

Jednou - hodna dcera chodila do mat. semináře a přes Skype řešila dom úlohy se spolužáky. Poradila jsem ji něco k substituci a překontrolovala jsem, zda to napsala správně (ne - sesypala více promenných :-) K tomu jsem se patřičně vyjádřila. Spolužák se trochu vyděsil, co se tak strašného stalo? Dcera to okomentovala: "Ale, šla okolo maminka s vysavačem a označila mne za matematického analfabeta :-)"

Už jsi byla pro titulek? Zdravím :-)

claudia · 08. 03. 2011 00:19

↑ halogan:

Děkuji. Přesto se při restikci funkce předpokládá restrikce na množinu (dle přednášky, Wikipedie, Planet Math, ...). Nebo je to zkrácený zápis pro něco jako $\int \frac{1}{t\sqrt{t+1}}\mathrm{d}t \Bigg|_{\{t\ |\ \exists x: t=x^4\}}$ ? Budu se tím příležitostně zabývat :-)

↑ jelena:

Mohu se tomu vyhýbat. Ale není mi upřímně příliš jasné, zda je to přímo nekorektní nebo "pouze" nezvyklé :-)

jelena · 08. 03. 2011 15:23

↑ claudia:

Tak odborně to nevím. Asi to mělo spíš metodicko-systematický význam. Bylo požadováno přímo v zápisu zadání najit funkci a jeji derivaci, případně ten zápis upravit tak, aby se našlo, derivace funkce se dala do kolečka a rovnou nahradila.

Vypisování substituce se provádělo pouze u "složitějších" situací, kde se muselo odvozovat, třeba Eulerovské.

Nějaké větší podrobnosti si již nepamatuji :-) Pokud bys měla zájem, toto je učebnice, podle které se učilo (mat. zápisy asi problém nebude).

Snad někdo z odborně zdatných kolegů doplní opravdu odborně. Kolegům děkuji.

Ještě jsme nějak zamluvuli otázku kolegy ↑ jancidubova: na důvěru ke strojovým výpočtům.

jancidubova · 08. 03. 2011 19:24

↑ jelena:tak ,tak ... a tak "iba" sledujem VASU zivu diskusiu :)

jancidubova

dnes asi nezaspim

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

..a verim ze ani VY ... good night

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2011 11:34 — Editoval jancidubova (06. 03. 2011 13:16)

Integral s odmocninou v menovateli

#2 06. 03. 2011 13:41

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#3 06. 03. 2011 14:38

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#4 06. 03. 2011 14:47 — Editoval claudia (06. 03. 2011 14:49)

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#5 06. 03. 2011 15:09

Re: Integral s odmocninou v menovateli

milá kolegynka Claudia napsal(a):

#6 06. 03. 2011 15:11

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#7 06. 03. 2011 18:41 — Editoval jancidubova (06. 03. 2011 22:00)

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#8 06. 03. 2011 22:08

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#9 06. 03. 2011 22:20

Re: Integral s odmocninou v menovateli

halogan napsal(a):

#10 06. 03. 2011 22:45

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#11 06. 03. 2011 23:41

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#12 08. 03. 2011 00:19

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#13 08. 03. 2011 15:23

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#14 08. 03. 2011 19:24

Re: Integral s odmocninou v menovateli

#15 08. 03. 2011 20:25 — Editoval jancidubova (08. 03. 2011 20:29)

Re: Integral s odmocninou v menovateli

Zápatí