Matematické Fórum

Horci · 17. 03. 2011 13:58

Dobrý den, v předmětu mechanika jsme dostali zadání příkladu, se kterým si nedovedu poradit.
Můj problém spočívá ve vyjádření neznámě "x" z rovnice:

2000*pi = 200*e^(-0.1x) + 20x - 200

Věřím, že pro někoho z Vás to bude jistě jednoduché, ale já bohužel vážně netušim jak na to, proto bych chtěl poprosit o radu, ale potřeboval vych to i s postupem.
Děkuju Vám moc předem. Mějte se.

jelena · 17. 03. 2011 14:46

Zdravím,

jsi si jistý, že potřebuješ vyjadřovat x? Není třeba řešení této rovnice pomocí některé z numerických metod?

až na podělení 20 levé a pravé strany rovnice další úpravy nepovědou k vyjádření běžnému na technické VŠ:

100*pi = 10*e^(-0.1x) + x - 10

potom úpravou na $-x+100\pi+10 = 10\cdot e^{-0.1x}$ můžeš se pokusit najit řešení graficky (průsečík přímky a exponenciální funkce) nebo numerickou metodou.

Můžeš svou rovnici zadat do Wolfram.

Jaké jiné úlohy tohoto typu jste řešili? Děkuji.

Horci · 17. 03. 2011 19:00

Spíš já bych měl poděkovat, za odpověď nebo alespoň reakci :)
Příklad byl zadaný takto:

Doufám, že sem to vložil správně. Nicméně nejdřív sem si vyjádřil úhlovou rychlost jako integrál ze zrychlení podle t, pak úhlovou dráhu jako integrál z úhlové rychlosti podle t.
Pak sem si dal dráhu rovnou 2000*pi což odpovídá těm zadaným 1000 otáčkám, no a pak už sem nevěděl jak dál :) Jiné příklady s podobně, pro mě složitými rovnicemi jsme neměli, učiteli jde nejspíš o to abychom uměli používat ty integráli, bohužel já narazil trošku jinde než u nich. Mějte se.

jelena · 17. 03. 2011 19:17 — Editoval jelena (17. 03. 2011 21:57)

Děkuji, zřejmě kolega to tady měl(a) také..

Popisuješ to dobře, ale napíš, prosím, jak jsi dointegroval k $\varphi(t)$ , takový výsledek nebude, používáš substituci napr. $-0.1t=u$ , potom by neměl být problém výpočtu (snad).

Zkontroluj si integral nebo to sem napíš ke kontrole.

EDIT: zkontrolovala jsem integrování, zdá se, že máš v pořádku, potom jen numerické řešení, případně výsledek ve wolfram.

Horci · 17. 03. 2011 22:11

Myslim, že sem to integroval dobře, i když bez substituce.

Nevim, raději to zkontroluj, děkuju.

jelena · 17. 03. 2011 22:14

↑ Horci:

Děkuji, přidala jsem do EDIT ↑ jelena:, že už jsem kontrolovala (tedy počítala jsem jako dif. rovnice s konstantou, ale stejný výsledek). Také jsem přidala, že řešení jen numěrické, třeba vložením do wolfram.

Pokud někdo z kolegů nemá jiný nápad. Děkuji.

Honzc · 18. 03. 2011 06:34 — Editoval Honzc (18. 03. 2011 06:36)

↑ jelena:
Dle mého názoru, pro tento konkrétní případ, lze uvažovat takto:
Řešíme rovnici 10*(10*pi+1)-t=10/exp(0.1*t) pro t>0
Pokud položíme pravou stranu rovnice rovnu 0 dostaneme t=324.159265
Nyní dosadíme-li pro zkoušku do pravé strany toto t a dostaneme přibližně 8*10^(-14) což je číslo tak blízké nule, že pro náš fyzikální případ jej za 0 můžeme považovat.
Tedy stačilo vyřešit rovnici 10*(10*pi+1)-t=0
Po editaci.
Jinak daná rovnice lze řešit pouze numerickými metodami.

jelena · 18. 03. 2011 07:35

↑ Honzc:

Děkuji a zdravím.

kolega Honzc napsal(a):
Po editaci.
Jinak daná rovnice lze řešit pouze numerickými metodami.

Tomu bych věřila více, děkuji.

Honzc · 18. 03. 2011 09:31

↑ jelena:
"Přesné" řešení: Zde
Moje "přibližné" řešení: 324.159 26535 89793 23846 26433 83279 50288....
Což je jak je vidět rozdíl přibližně 0.8 pikosekundy.
Někde jsem četl, že poslední zemětřesení v Japonsku zkrátilo den o 1.8 mikrosekundy, což řádově milionkrát více než rozdíl v přesném a přibližném řešení této úlohy.
Pozn. Já jsem fakt, že se zkrátil den opravdu nezaznamenal.

jelena · 18. 03. 2011 11:05

↑ Honzc:

Děkuji.

Jelena včera napsal(a):
potom úpravou na $-x+100\pi+10 = 10\cdot e^{-0.1x}$ můžeš se pokusit najit řešení graficky (průsečík přímky a exponenciální funkce) nebo numerickou metodou.

Můžeš svou rovnici zadat do Wolfram.

Přibližné řešení vyplývá z předpokladu o chování exponenciální funkce tohoto zadání - je tak? U mne by vychozím krokem bylo grafické znázornění situace. A to mi bylo zakázano, dokonce opakovaně.

Pokud bych byla vystavena požadavku rovnici vyřešit bez použití strojů, tak bych grafickou situaci znázornila, co by mi zbyvalo.

Ovšem:

kolega Honzc napsal(a):
Pokud položíme pravou stranu rovnice rovnu 0 dostaneme t=324.159265

A tady mi chyběl předpoklad, z čeho jsi vycházel při položení pravé strany 0. Proto má reakce, ale jinak vím, že nemám psát před poledném.

Měj se hezky.

Horci · 19. 03. 2011 13:00

Moc Vám děškuji, nakonec asi opíšu váš výsledek s poznámkou, že sem pro výpočet použil sofware k čemuž mě přiměla diskuze na forum.matweb.cz :)
Ještě jednou díky, mějte se.

jelena · 20. 03. 2011 10:08

↑ Horci:

Děkuji, označím za vyřešené.

je to tak - buď pomocí software nebo odhadem řešení pomocí zkoumání chování funkcí (klésající lineární a klésající exponenciální, která klésa velmi rychle a v bodě průsečíku těchto funkcí se bliží 0, což použil kolega ↑ Honzc:, děkuji).

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2011 13:58

Rovnice s neznámou v exponentu

#2 17. 03. 2011 14:46

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#3 17. 03. 2011 19:00

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#4 17. 03. 2011 19:17 — Editoval jelena (17. 03. 2011 21:57)

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#5 17. 03. 2011 22:11

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#6 17. 03. 2011 22:14

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#7 18. 03. 2011 06:34 — Editoval Honzc (18. 03. 2011 06:36)

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#8 18. 03. 2011 07:35

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

kolega Honzc napsal(a):

#9 18. 03. 2011 09:31

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#10 18. 03. 2011 11:05

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

Jelena včera napsal(a):

kolega Honzc napsal(a):

#11 19. 03. 2011 13:00

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

#12 20. 03. 2011 10:08

Re: Rovnice s neznámou v exponentu

Zápatí