Matematické Fórum

nie_som_matematik · 05. 04. 2011 15:32

Ahoj,

prosím vás, poradí mi niekto, ako na tento integrál? Naozaj si s tým neviem rady.

Vopred ďakujem za každú radu.

Rumburak · 05. 04. 2011 15:46

Zkusil bych substituci $x = \sqrt{5}\,\sinh t$ (viz hyperbolické funkce).

nie_som_matematik · 05. 04. 2011 16:45

↑ Rumburak:

Ďakujem za vodítko, ale ešte by som chcel poprosiť, či by ste mi to nepomohli vyriešiť úplne do konca? Pozerám sa do zbierky príkladov a je to typ príkladov, ktoré sme neriešili, ale na zápočtovej písomke boli.

Vopred ďakujem a vážim si ochotu.

claudia · 05. 04. 2011 18:08

při substituci $x = \sqrt5\sinh t$ formálně dostaneme $\mathrm{d}x = \sqrt5 \cosh t\ \mathrm{d}t$ a

$\int 2x^2\sqrt{x^2+5}\ \mathrm{d}x=\int 2$\sqrt5 \sinh t$^2\sqrt{$\sqrt5 \sinh t$^2+5}\ \sqrt5 \cosh t\ \mathrm{d}t\Bigg|_{x = \sqrt5\sinh t}$

$&\int 2$\sqrt5 \sinh t$^2\sqrt{$\sqrt5 \sinh t$^2+5}\ \sqrt5 \cosh t\ \mathrm{d}t =\\=&10\sqrt5\int \sinh^2 t\ \sqrt{5$\sinh^2 t+1$}\ \cosh t\ \mathrm{d}t =\\=&50\int \sinh^2 t\ \sqrt{\cosh^2 t}\ \cosh t\ \mathrm{d}t =\\=&50\int \sinh^2 t\ \cosh t\ \cosh t\ \mathrm{d}t =\\=&50\int \sinh^2 t\ \cosh^2 t\ \mathrm{d}t =\\=&50\int \sinh^2 t\ $\sinh^2 t +1$\ \mathrm{d}t =\\=&50\int \sinh^4 t\ \mathrm{d}t + 50\int \sinh^2 t\ \mathrm{d}t=\ldots$

až nakonec mi vyšlo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=di … 29%29%2F16

Hádám, že měl Rumburak na mysli nějaký elegantnější postup :-)

overcat · 06. 04. 2011 08:17

na riesenie integralov a podobnych je na webe super tool:
http://www.wolframalpha.com/

jelena · 06. 04. 2011 09:11

↑ overcat:

děkuji, je to uvedeno v úvodním tématu sekce VŠ, odkaz má kolegyňka ↑ claudia: v příspěvku, všude doporučuji MAW, ale jinak takovým zavedením strojů se z integrování stala "riadná nuda" (c)

Zde se mi zda možné použit per partes $u=x$ , $v^{\prime}=2x\sqrt{x^2+5}$ po úpravách se dostávám na metodu "něco - něco jiného" a ještě bude třeba použit takové integrování.

Určitě jsem to v takto brzkých hodinách překombinovala :-)

Zdravím v tématu a nejen.

Rumburak

↑ claudia:
Ahoj :-) a díky za podrobnosti k té substituci. Mně k ní přilákalo možné využití vztahů

$\sinh^2 t + 1 = \cosh^2 t,\,\,\,\,\,\, \sinh t \cosh t = \frac {1}{2}\,\sinh 2t$ .

S ohledem na třetí řádek odzdola v Tvém výpočtu (↑ claudia:) tedy stačí (po substituci u = 2t) provést úpravu

$\int \sinh^2 u \,\mathrm{d}u = \int \left( \frac{\mathrm{e}^u-\mathrm{e}^{-u}}{2} \right) ^2 \mathrm{d}u = \frac{1}{4}\int \left( \mathrm{e}^{2u}-2 +\mathrm{e}^{-2u} \right) \,\mathrm{d}u$

a dopočítat to už opravdu není těžké, vystačíme se základními znalostmi a proto doufám, že to zvládne i kolega
↑ nie_som_matematik: :-).

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2011 15:32

Neurčitý integrál

#2 05. 04. 2011 15:46

Re: Neurčitý integrál

#3 05. 04. 2011 16:45

Re: Neurčitý integrál

#4 05. 04. 2011 18:08

Re: Neurčitý integrál

#5 06. 04. 2011 08:17

Re: Neurčitý integrál

#6 06. 04. 2011 09:11

Re: Neurčitý integrál

#7 06. 04. 2011 09:13 — Editoval Rumburak (06. 04. 2011 10:05)

Re: Neurčitý integrál

Zápatí