Matematické Fórum

mancini · 05. 04. 2011 20:06

Ahoj, s timhle si nevim rady:

$\lim_{x\to0}\left(\frac{(a^x)^2 + (b^x)^2}{a^x + b^x}\right)^\frac{1}{x}$

Jak na složenou funkci vím, ale nedokážu se poprat s tím vnitřkem závorky. V obou logaritmech mi vznikne jak v čitateli, tak i ve jmenovateli něco limitně se blížící 2, což neumím upravit. Nedokážu z těch exponentů dostat x, abych ho vykrátil.

Můžete mě někdo kopnout, ať mě napadne řešení?

Díky

Raduse73 · 05. 04. 2011 20:59

Snad to bude jasné a k přečtení
http://www.sdilej.eu/pics/c85310c379fe7 … 108f5b.jpg

mancini · 05. 04. 2011 21:13

↑ Raduse73: diky moc ...

A existuje nejake elegantni reseni bez l'H?

claudia

snad jsem se nikde nedopustila žádné ilegality... :-)

$&\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x} =\\=& \lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1}{x}\frac{\ln\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}}{\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1} =\\=& \lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1}{x} =\\=& \lim_{x\to0}\frac{a^{2x} + b^{2x}-a^x - b^x}{x$a^x + b^x$} =\\=& \lim_{x\to0}\frac{a^{2x} + b^{2x}-a^x - b^x}{x}\cdot \lim_{x\to0}\frac{1}{a^x + b^x} =\\=& \frac{1}{2}\lim_{x\to0}\frac{a^{2x} + b^{2x}-a^x - b^x}{x} =\\=& \frac{1}{2}$\lim_{x\to0}\frac{a^{2x} -a^x }{x} + \lim_{x\to0}\frac{b^{2x}- b^x}{x}$ =\\=& \frac{1}{2}$\lim_{x\to0}a^x \cdot\lim_{x\to0}\frac{a^{x} - 1 }{x} + \lim_{x\to0}b^x \cdot\lim_{x\to0}\frac{b^{x} -1 }{x}$ =\\=& \frac{1}{2}$\lim_{x\to0}\frac{a^{x} - 1 }{x} + \lim_{x\to0}\frac{b^{x} -1 }{x}$ =\\=& \frac{1}{2}$\ln a + \ln b$$

OiBobik

↑ claudia:

snad jsem se nikde nedopustila žádné ilegality... :-)

Jenom drobné, nepodstatné (píšu to jen proto, že náhodou jsem tu samou věc udělal na písemce o pololetí a zároveň se pokusil na toto reagovat, tak jsem to na tom chtěl vypíchnout):

Poznámka se týká úpravy následujícího:

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1}{x}\frac{\ln\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}}{\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1}$

Použilo se věty o limitě složené funkce - verzi (P) (vnitřní funkce na nějakém okolí 0 nenabývá hodnoty své limity, tedy 0) můžeme předem zavrhnout, protože jinak bychom museli dlouze diskutovat, jaké ony parametry a, b musí být, aby

$\frac{a^{2x} + b^{2x}}{a^x + b^x}-1 \neq 0$ ... např. pro a=b=1 to zřejmě neplatí

Musíme tedy sáhnout po variantě (S)(vnější funkce v 0 spojitá) - ovšem to musíme uvážit ne funkci $\frac{ln(1+y)}{y}$ , nýbrž

$f(y) =&\frac{ln(1+y)}{y}\text{ pro }y \neq 0 \\ =&\lim_{y\to 0}\frac{ln(1+y)}{y}=1\text{ pro }y=0$

Tedy dodefinovat danou funkci v 0 její limitou. Ta už je i spojitá v bodě 0 a můžeme "legálně" použít VLSF(S). ; ))

Možná je to jenom nimrání se v detailech a možná si to všechno uvědomuješ, v tom případě se nezlob, ale přišlo mi zajímavé natolik, aby to alespoň stálo za zmínku.

mancini · 05. 04. 2011 22:31

↑ claudia:

jsem debil, ze jsem se snazil asi petkrat pracovat ruzne s citatelem a jmenovatelem zvlast, zkousel jsem vnitrek zavorky rozlozit na dva zlomky, ale nevim, proc me nenapadlo s tou hruzou v zavorce pracovat takhle :-(

diky moc

claudia

↑ OiBobik:

Myslím, že je to velmi precizně osvětleno :-) (A velmi přesně jsi uhodl, kterou podmínku se mi nechtělo příliš podrobně ověřovat O:-)

↑ mancini:

Z toho si nic nedělej. To se stává každému.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2011 20:06

Limita složené funkce

#2 05. 04. 2011 20:59

Re: Limita složené funkce

#3 05. 04. 2011 21:13

Re: Limita složené funkce

#4 05. 04. 2011 21:37 — Editoval claudia (05. 04. 2011 21:59)

Re: Limita složené funkce

#5 05. 04. 2011 22:09 — Editoval OiBobik (05. 04. 2011 22:11)

Re: Limita složené funkce

#6 05. 04. 2011 22:31

Re: Limita složené funkce

#7 05. 04. 2011 22:51 — Editoval claudia (05. 04. 2011 22:52)

Re: Limita složené funkce

Zápatí