Matematické Fórum

Michaell0071 · 10. 12. 2011 14:26

Zdravím všechny, chtěl bych Vás moc poprosit, nevím si rady s průběhem funkce: $\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}$
Definiční obor funkce jsem určitl jako R-{0,-2} A vypočtl jsem první derivaci která mi vyšla: $\frac{e^{x}*(x^{2}-2)}{x^{2}*(x+2)^{2}}$ a druhou derivaci která vyšla: $\frac{e^{x}*(x^{4}-2x^{2}+4^{x}+8)}{x^{3}*(x+2)^{3}}$
Dál už nevím jak z toho určit limity v nevlastních bodech, monotónost a extrémy. Zkoušel jsem i ostatní body jako konvexnost a konkávnost a a asymptoty, ale seděl jsem nad tím několik hodin a nepodařilo se mi to vyřešit. Toto zadání mi nějak nesedlo jiné zadání jsem vyřešil celkem v pohodě. že by to bylo tím $e^{x}$ nevím.
Děkuji předem všem kteří by mi s tímto chtěli pomoci.
Přejí pěkný předvánoční víkend.

Aquabellla · 10. 12. 2011 17:28

↑ Michaell0071:

Zdravím, přijde mi, že je špatně derivace:

$$\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}$' = \frac{e^x \cdot (x^2 + 2x) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{x^2 \cdot e^x}{(x^2 + 2x)^2}$

standyk

↑ Aquabellla:

Myslím, že tú prvú deriváciu má správne:

$$\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}$' = \frac{e^x \cdot (x^2 + 2x) - e^x \cdot (2x\color{red}+2\color{black})}{(x^2 + 2x)^2} = \frac{(x^2\color{red}-2\color{black}) \cdot e^x}{(x^2 + 2x)^2}$

↑ Michaell0071:
Derivaciu polož nule a počítaj lokálne extrémy. Daná derivácia má 2 nulové body + z definičného oboru máme 2 body, v ktorých sa môže meniť monotónnosť. Číselnú os teda rozdelíme na 5 častí tými 4 bodmi a určujeme monotónnosť na jednotlivých intervaloch.

Druhá derivácia nemá nulové body takže stačí vyšetriť len v tých bodoch nespojitosti (ktoré nepatria do D(f)) či sa tam nemení z konkávnej na konvexnú, alebo naopak.

Asymptoty bez smernice počítaš ako limity v nevastných bodoch - ako si písal:
$\lim\limits_{x \to 0^{+}}{\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}}=\infty$ Znamená to, že v tom bode má funkcia zvislú asymptotu. Podobne terba overiť aj limitu $\lim\limits_{x \to -2^{+}}{\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}}$

Asymptoty so smernicou počítaš ako:
$k=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{\frac{e^x}{x^2+2x}}{x}}$ Ak je táto limita vlastná, tak daná funkcia má asymptotu so smernicou.

Michaell0071 · 10. 12. 2011 18:10

↑ standyk: Při počítaní lokálních extrémů si mám zvolit za x nějaké číslo z definičního oboru funkce? Děkuji :)

cv · 10. 12. 2011 18:17 — Editoval cv (10. 12. 2011 18:18)

↑ Michaell0071:
lokální extrémy a intervaly růstu a klesání:
urči, která čísla nulují první derivaci -> tedy pro která čísla je 1 derivace nulová.
Pomocí těchto čísel / bodů rozděl definiční obor na intervaly a urči, jestli je 1 derivace na jednotlivých intervalech klesající (záporná) nebo rostoucí(kladná)

Z toho už jednoduše určíš extrémy. pokud bude 1 derivace v levém okolí daného bodu záporná a v pravém okolí kladná, pak je v tom bodě minimum. obdobně s maximem. Ale bacha, extrém nastává jen v těch bodech, kde je funkce definovaná.

Potažmo tedy pokud ti vyjde "extrem" v bode, který sice nuluje první derivaci, ale není v definičním oboru funkce, tak se o extrém nejedná.

standyk

↑ Michaell0071:

Číselnú os rozdelíme nulovými bodmi z derivácie (v tých bodoch môže byť lokálny extrém). Keď ale vyšetrujeme monotónnosť musíme vyšetriť aj ako tie body nespojitosti ovplyvnili monotónnosť funkcie. Preto si číselnú os rozdelíme bodmi:
$\sqrt2,-\sqrt2$ (nulové body derivácie)
$-2,0$ (body nespojitosti - nepatria do definičného oboru.)

Dosaď z jednotlivých intervalov nejaké x a zisti či na tom intervale je derivácia kladná alebo záporná.

Michaell0071 · 10. 12. 2011 19:26

↑ standyk: OK zkusím dosadit u obou intervalů. Uvidím co vyjde. Zatím díky moc.

Michaell0071

Ahoj, tak jsem dosadil do první derivace za $x$ z intervalu od $-\sqrt{2}$ po $\sqrt{2}$ . A výsledk mi zde vyšel: $\frac{-e}{9}=-0,3$ Pak jsem za $x$ dosadil do první derivace z intervalu od $-2$ po $0$ zde mě výsledek vyšel: $-e^{-1}=-0,36$
Počítal jsem i ty limity a ty mi vyšly:
$\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=\infty$
$\lim_{x\to-2^{+}}\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}=-\infty$
$\lim_{x\to\infty }\frac{\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}}{x}=\infty$

Je to co jsem vypíčítal k něčemu? Můžu to v tomto příkladu průběhu funkce nějak uplatnit?
Děkuji ještě jednou všem co se mi snaží pomoci. Ahoj

standyk

↑ Michaell0071:

Tie limity sú dobre, pretože keďže vyšlo že v bodoch nespojitosti (0,-2) má funkcia nevlastnú limitu. Znamená to, že v týchto bodoch má funkcia asymptoty bez smernice.
To že tá posledná limita je $\infty$ tak môžeme povedať, že funkcia nemá asymptotu so smernicou.

Čo sa týka tej monotónnosti. Treba dosadiť čísla z každého podintervalu ktorý nám vznikol keĎ sme rozdelili tú číselnú os na 5 častí 4 bodmi. Čiže:
$(-\infty)-----(\color{blue}-2\color{black})------(\color{blue}-\sqrt2\color{black})------(\color{blue}0\color{black})----(\color{blue}\sqrt2\color{black})-------(\infty)$

Na tých intervaloch kde je prvá derivácia záporná tam funkcia klesá a tam kde je derivácia kladná, tam rastie. Rovnako treba overiť aj v bodoch kde je derivácia rovná nula ( $\pm\sqrt2$ ) či je v týchto bodoch lokálny extrém

Michaell0071 · 11. 12. 2011 22:08

↑ standyk: Tak jsem do první derivace z jednotlivých podintervalů a vyšlo mi:

pro $x=-4$ výsledek: $\frac{-14e^{-4}}{-32}$

pro $x=-\frac{3}{2}$ mi vyšlo: $\frac{-4\sqrt{\mathrm{e}^{3}}}{9}$

pro $x=-1$ mi vyšel výsledk: $-\mathrm{e}^{-1}$

pro $x=1$ mi vyšlo: $\frac{-e}{9}$

a pro $x=2$ mi vyšlo: $\frac{e^{2}}{32}$

Pak jsem ještě dosadil do první derivace $\mp \sqrt{2}$ a zde jsem došel k výsledkům u obou $0$

Je to správně? Už je to všechno nebo je ještě třeba něco určit? Byly by jste tak hodní a dali mi to nějak dohromady aby jsem věděl co jsme to vlastně všechno vypočítali. Děkuji Vám mnohokrát. MOC děkuji standyk-ovi

standyk

↑ Michaell0071:

Čiže pre $x=-4$ vyšlo číslo kladné, takže na intervale $(-\infty,-2)$ funkcia rastie.
Pre $x=-\frac{3}{2}$ Ti vyšlo záporné - asi si sa pomýlil, lebo by malo vyjsť kladné- môžeš , takže na intervale $(-2,-\sqrt2>$ funkcia rastie.
.....

V bodoch $\mp \sqrt{2}$ vyšlo 0. Treba sa teda pozrieť ako sa správa funkcia na jednotlivých intervaloch okolo týchto bodov.
Vidíme (z prvej derivácie a z monotóonosti), že na intervale $(-2,-\sqrt2>$ funkcia rasie a na intervale $<-\sqrt2,0)$ funkcia klesa. Naľavo od bodu rastie a napravo klesá. Znamená to, že v bode $-\sqrt2$ má funkcia lokálne maximum.
Podobne skús určiť aký extrém, a či vôbec má funkcia v druhom bode: $\sqrt2$

Jednotlivé kroky môžeš nájsť na napr. na stránke. Podľa toho si to už v pohode dáš dokopy - nie?

Michaell0071 · 11. 12. 2011 23:45

Jak určím zda je funkce sudá či lichá? Děkuji

standyk

↑ Michaell0071:

Musia byť splnené 2 podmienky. Párna (sudá)
$\forall x, (x \in D(f) \qquad \Rightarrow \qquad (-x) \in D(f)) \qquad \wedge \qquad f(x)=f(-x)$
A Nepárna (lichá):
$\forall x, (x \in D(f) \qquad \Rightarrow \qquad (-x) \in D(f)) \qquad \wedge \qquad -f(x)=f(-x)$

Zadaná funkcia: $\frac{e^{x}}{x^{2}+2x}$ nesplňuje už tú prvú podmienku- konkrétne 2 leží v D(f) ale -2 neleží v D(f)
Inak, keby tá prvá podmienka bola splnená, tak by bolo treba overiť druhú podmienku:
$\frac{e^{x}}{x^{2}+2x} \stackrel{\text{?}}{=} \frac{e^{(-x)}}{(-x)^{2}+2(-x)}$ resp. $-\frac{e^{x}}{x^{2}+2x} \stackrel{\text{?}}{=} \frac{e^{(-x)}}{(-x)^{2}+2(-x)}$

Michaell0071

↑ standyk:Takže tato funkce je lichá. ŽE ano?

standyk · 12. 12. 2011 00:02

↑ Michaell0071:

NIE JE.
Už kôli tej prvej podmienke že 2 leži v D(f) ale -2 neleží v D(f) . A pozor na tie slová:
Funkcia, ktorá nie je lichá neznamená, že je sudá a naopak. Funkcia môže byť aj lichá aj sudá, alebo nemusí byť ani sudá ani lichá.

Michaell0071 · 12. 12. 2011 00:06

↑ standyk:intervalu $(0;\sqrt{2})$ je funkce klesající a v intervalu $(\sqrt{2};\infty )$ rostoucí že? JO takže funkce není asi sudá ani lichá není tomu tak.
Děkuji Ti.

standyk · 12. 12. 2011 00:12

↑ Michaell0071:

Áno správne. Čiže v bode $\sqrt2$ bude mať funkcia lokálne minimum.
Áno, nie je ani párna ani nepárna (sudá lichá).

Pripájam aj graf

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Michaell0071

Konvexnost a konkávnost na to se jde jak?? Mimochodem děkuji za graf. A inflexní bod funkce nemá?

standyk · 12. 12. 2011 00:31

↑ Michaell0071:

Na to nám slúži tá druhá derivácia. Polož ju nule a počítaj nulové body. Zopakuj vlastne podobny proces ako pri prvej derivácii akurát namiesto monotónnosti budeš určovať konvexnosť, resp. konkávnosť, a v bodoch kde je druhá derivácia nulová môže byť ten inflexný bod.

Michaell0071

↑ standyk: Jak to mám udělat položit rovno nule, mám zas za $x$ dosadit nějaké ty hodnoty jako u té monotónosti? Ne li uplně ty stejné. Díky za trpělivost.

standyk · 12. 12. 2011 11:53

↑ Michaell0071:

Treba dosadiť hodnoty, ktoré patria do tých jednotlivých intervalov (podobne ako pri prvej derivácii), ktoré Ti vzniknú, keď rozdelíš číselnú os tými nulovými bodmi z druhéj derivácie,

Michaell0071 · 12. 12. 2011 13:10

↑ standyk:Napsal bys mi prosím ty intervali z kterých mám dosadit do té druhé derivace. Díky moc

standyk

Druhá derivácia vyšla takto:
$\frac{e^{x}*(x^{4}-2x^{2}+4x+8)}{x^{3}*(x+2)^{3}}$

Kedy je táto druhá derivácia rovná nule? (teda- kedy je citateľ nulový?)

Michaell0071 · 12. 12. 2011 15:25

↑ standyk:Nevím si s tím rady, které intervaly budou u té druhé derivace. Zkoušel jsem to a vyšly mi $(-\infty) -----(-2)-----(\infty)$

standyk · 12. 12. 2011 17:21

↑ Michaell0071:

Nulové body sa získavajú z čitateľa, lebo keby bola v menovateli 0 tak by ten výraz nebol definovaný. V čitateli je súčin dvoch výrazov. $e^x$ je kladné vždy a ten druhý výraz je tiež vždy kladný (môžeš to vidieť z grafu). To znamená že infelxné body tá funkcia nemá. Treba ale overiť na ktorých intervaloch je konvexná a na ktorých konkávna. Zase musíme použiť aj tie body nespojitosti (tak ako pri prvej derivácii). Preto rozdelíme číselnú os na 3 časti 2 bodmi (tie ktoré nepatria do D(f) = -2; 0) Dosadíme z jednotlivých intervalov čísla a zistíme, či je tam tá druhá derivácia kladná alebo záporná. Ak je kladná, tak funkcia bude na tom intervale konvexná a ak záporná tak bude konkávna.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2011 14:26

Průběh funkce

#2 10. 12. 2011 17:28

Re: Průběh funkce

#3 10. 12. 2011 17:34 — Editoval standyk (10. 12. 2011 18:17)

Re: Průběh funkce

#4 10. 12. 2011 18:10

Re: Průběh funkce

#5 10. 12. 2011 18:17 — Editoval cv (10. 12. 2011 18:18)

Re: Průběh funkce

#6 10. 12. 2011 18:21 — Editoval standyk (10. 12. 2011 18:22)

Re: Průběh funkce

#7 10. 12. 2011 19:26

Re: Průběh funkce

#8 11. 12. 2011 10:43 — Editoval Michaell0071 (11. 12. 2011 10:43)

Re: Průběh funkce

#9 11. 12. 2011 12:39 — Editoval standyk (11. 12. 2011 13:13)

Re: Průběh funkce

#10 11. 12. 2011 22:08

Re: Průběh funkce

#11 11. 12. 2011 23:16 — Editoval standyk (11. 12. 2011 23:20)

Re: Průběh funkce

#12 11. 12. 2011 23:45

Re: Průběh funkce

#13 11. 12. 2011 23:50 — Editoval standyk (11. 12. 2011 23:54)

Re: Průběh funkce

#14 12. 12. 2011 00:00 — Editoval Michaell0071 (12. 12. 2011 00:06)

Re: Průběh funkce

#15 12. 12. 2011 00:02

Re: Průběh funkce

#16 12. 12. 2011 00:06

Re: Průběh funkce

#17 12. 12. 2011 00:12

Re: Průběh funkce

#18 12. 12. 2011 00:22 — Editoval Michaell0071 (12. 12. 2011 00:26)

Re: Průběh funkce

#19 12. 12. 2011 00:31

Re: Průběh funkce

#20 12. 12. 2011 00:37 — Editoval Michaell0071 (12. 12. 2011 10:19)

Re: Průběh funkce

#21 12. 12. 2011 11:53

Re: Průběh funkce

#22 12. 12. 2011 13:10

Re: Průběh funkce

#23 12. 12. 2011 13:36 — Editoval standyk (12. 12. 2011 13:37)

Re: Průběh funkce

#24 12. 12. 2011 15:25

Re: Průběh funkce

#25 12. 12. 2011 17:21

Re: Průběh funkce

Zápatí