Matematické Fórum

-Jandy- · 17. 12. 2011 17:48

Mám zadaný tento určitý integrál:
$\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\sin ^{3}(2x)dx=\frac{2}{3}$
a tento textový popis jeho řešení:

Nejdriv substituci za 2x...\\ 2x=b; 2dx=db; dx=1/2db \\, pak prepocitas meze z 0->0 a pi/2->pi (dosad ty puvodni do ty substituce)
pak je teda integral .... 1/2 INT(z tech vypocitanejch mezi) (sin(b))^3 db
ted v tom integralu udelas fintu, ze si rozdelis ten sinus... sin*sin^2=sin*(1-cos^2)=sin-sin*cos^2
rozdelis to na dva integraly

1/2 INT(s mezema 0 a pi) sin b = 1/2[-cos x]0,pi = 1/2+1/2=1

ten druhej integral zase pres substituci....ted ale \\ cos b=f; -sinb db=df \\
zase prepocitas meze...pi->-1 , 0->1 a abychom si usetrili praci, vytknu ten minus od toho sin b, abych ho nemel v tom integralu, cims se mi z toho minulyho minusu udela plus
no a pak ted vyjde ten druhej integral +1/2 INT(od 1 do -1) f^2 df
coz jednoduse zintegrujes jako f^3/3
dosadis ty hodnoty do +1/2[f^3/3](od 1 do -1) .... a vyjde (+1/2)*(-1/3)-(1/2)*(1/3)=-2/6=-1/3

no a to odectes od ty 1 z prvniho integralu a vyjde 1-(1/3)=2/3

Mohl by jste mi to prosím někdo přepsat do nějaký lepší podoby? Díky :)) Mě nění jasný co je přepočet mezí.

jelena · 17. 12. 2011 20:16

Zdravím,

-Jandy- napsal(a):
Mohl by jste mi to prosím někdo přepsat do nějaký lepší podoby?

všemi deseti?

a) mně není jasné a byste,
b) na přepis máme Editor LateXu - napravo od okna zprávy (na opravu "vypocitanejch", "minulyho" apod. máme odkazy na české slovníky)
c) přepočet mezí - pokud je $0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ , v jakých mezích bude $2x$ , což je substituováno jako $b$ ?

Stačí tak? Děkuji.

-Jandy- · 17. 12. 2011 22:49

jelena napsal(a):
Zdravím,

-Jandy- napsal(a):
Mohl by jste mi to prosím někdo přepsat do nějaký lepší podoby?
všemi deseti?

a) mně není jasné a byste,
b) na přepis máme Editor LateXu - napravo od okna zprávy (na opravu "vypocitanejch", "minulyho" apod. máme odkazy na české slovníky)
c) přepočet mezí - pokud je $0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ , v jakých mezích bude $2x$ , což je substituováno jako $b$ ?

Stačí tak? Děkuji.

Ahoj,
ono to je už spočítané, ale jenom v textové podobě a mě z toho není jasné co, kde, jak děje. Takže bych to potřeboval převést z této textové podoby do LaTexového editoru. Abych to viděl pořádně. Popřípadě přepočítat znovu :)

jelena · 17. 12. 2011 23:35

-Jandy- napsal(a):
Takže bych to potřeboval převést z této textové podoby do LaTexového editoru. Abych to viděl pořádně. Popřípadě přepočítat znovu :)

:-) A jakou barvu rámečku bys přál?

Tady u kolegy - horní funkce bude $\sin ^{3}(2x)$ , dolní 0. Meze, jak máš zadáno, a nech počítat obsah množiny (1. čudlík). Potom v PDF klikneš na rámeček a projdeš s kolegou výpočet integrálu. Jednu změnu mezí jsem naznačila - podařilo se odpovědět na dotaz "V jakých mezích bude 2x?"

Druhou změnu mezí naznačíme až dojdeš ve výpočtu integrálu k potřebě měnit mez. Pro cvičení LaTeX máme pískoviště. Zdar přeji.

Alivendes

Pokud smím, tak bych to řešil takto :

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{3}(2x)dx$

$2x=t$
$dx=\frac{dt}{2}$

Přepočet mezí - Je dané že $2x=t$
a)
$x=0/.2$
$2x=0$
$t=0$

b)
$x=\frac{\pi}{2}/.2$
$2x=\pi$
$t=\pi$

Pro mezi výpočet meze zanedbáme:

$\frac{1}{2}\int\sin ^{3}(t)dx$

Využil bych této skutečnosti:

$sin3x=3sinx-4sin^3x$
$3sinx-sin3x=4sin^3x$
$sin^3x=\frac{3sinx-sin3x}{4}$

Dosadíme do našeho integrálu:

$\frac{1}{2}\int\frac{3sint-sin3t}{4}dt$

$\frac{1}{8} \[-3cost+\frac{cost}{3} \]$
$-\frac{3cost}{8}+\frac{cos3t}{24} +C$

Dosadíme pro naší původní neznámou x:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{3}(2x)dx = [-\frac{3cos2x}{8}]_{0}^{\frac{\pi }{2}}-[\frac{cos6x}{24}] _{0}^{\frac{\pi }{2}}=\[$[-\frac{3cos\pi}{8}]-[-\frac{3cos0}{8}] $+$[\frac{cos\pi}{24}]-[\frac{cos0}{24}]$\]= \nl \[$\frac{3}{8}+\frac{3}{8}$+$-\frac{1}{24}-\frac{1}{24}$\]= \frac{6}{8}-\frac{2}{24}=\frac{18-2}{24}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$

-Jandy- · 18. 12. 2011 07:53

Díky moc :))

Alivendes · 18. 12. 2011 10:06

↑ -Jandy-:

Není za co :)

Záleží, jaký postup ti vyhovuje víc. Mně tohle přijde rychlejší než to, co jsi psal nahoře.

jelena · 18. 12. 2011 10:36

↑ Alivendes:

Zdravím,

a) mně přijde rychlejší klasika pomocí $\sin^2x=1-\cos^2x$ (kterou kolega v postupu má).
b) kolega potřeboval vysvětlit změnu mezí - toho se mu nedostalo (pravda, že může provést výpočet neurčitého integrálu "bokem" a potom dosadit původní meze, ale není to úplně správně - viz debata autorit). I jinak by mu nácvik změny mezí neuškodil.
c) poslala jsem kolegu, aby se obeznámil s online nástroje z úvodního tématu sekce VŠ, teď nevím, zda tam došel nebo ne.
d) pro zápisy goniometrických funkcí (a nejen) se má používat \ (zpětné lomítko), pokud šlo o přepis do LaTeX,
e) nabízením hotových řešení u kolegy vznikl dojem automatovosti naších odpovědí - věřím, že jsem mu to vyvrátila.

:-) samozřejmě velmi děkuji za ochotu a za Tvůj čas.

------------------
o tom, jak jsem milá a vstřícná, snad není třeba přesvědčovat - drobnost pro volné chvilky

kaja.marik

↑ Alivendes:
$\frac{1}{8} \[-3cost+\frac{cost}{3} \]$

nema byt

$\frac{1}{8} \[-3\cos t+\frac{\cos 3t}{3} \]$ ?

pocitame $\frac{1}{8}\[ \int3\sin tdt-\int \sin3tdt \]$

Alivendes

↑ kaja.marik:

Vypadla mi trojka, ve finále to ale vychází stejně, proto jsem si nevšiml ...

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2011 17:48

Přepis postupu určitého integrálu

#2 17. 12. 2011 20:16

Re: Přepis postupu určitého integrálu

-Jandy- napsal(a):

#3 17. 12. 2011 22:49

Re: Přepis postupu určitého integrálu

jelena napsal(a):

-Jandy- napsal(a):

#4 17. 12. 2011 23:35

Re: Přepis postupu určitého integrálu

-Jandy- napsal(a):

#5 17. 12. 2011 23:58 — Editoval Alivendes (18. 12. 2011 17:30)

Re: Přepis postupu určitého integrálu

#6 18. 12. 2011 07:53

Re: Přepis postupu určitého integrálu

#7 18. 12. 2011 10:06

Re: Přepis postupu určitého integrálu

#8 18. 12. 2011 10:36

Re: Přepis postupu určitého integrálu

#9 18. 12. 2011 11:07 — Editoval kaja.marik (18. 12. 2011 11:08)

Re: Přepis postupu určitého integrálu

#10 18. 12. 2011 17:28 — Editoval Alivendes (18. 12. 2011 17:34)

Re: Přepis postupu určitého integrálu

Zápatí