Matematické Fórum

mipo · 02. 01. 2012 15:22

Moc prosím o pomoc s příklady:
a) 1/x + 1/y = 1/14, kde x,y jsou z N
b) Dokažte že platí 181/3^105 + 4^105

Moc děkuju. Nevím, jak začít.

vanok · 02. 01. 2012 15:43 — Editoval vanok (02. 01. 2012 16:30)

Ahoj ↑ mipo:,
Ja vzdy najprv pozdravim, a ty...
a) Mozes skusis vyuzit ze $\frac {x+y}{xy}= \frac 1 {14}$
b) zatial nemam inu myslienku ako
$3^4 + 100= 181$ a
$4^4-75=181$

mipo · 02. 01. 2012 22:10

Ahoj, stejně si nejsem moc jistá, co s tím dál... no snad mě něco osvítí:-)

vanok · 02. 01. 2012 23:08 — Editoval vanok (02. 01. 2012 23:18)

↑ mipo:,
a)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Z danej relacie mame $\frac 1x= \frac 1{14}-\frac 1y= \frac {y-14}{14y} $A$$
Skusme dosadzovat postupne prirodzene cisla take ze $y-14$ je positivne prirodzene cislo a nam da x positivne prirodzene.

$y=15$ nam da z $$A$$ ze $\frac 1x= \frac 1{14*15} = \frac 1 {210}$ , cize $x=210$
podobne $y=16$ nam da $\frac 1x= \frac 2{14*16}=\frac 1 {8*14}= \frac 1 {112}$ , cize $x=112$
$y=3$ nam neda ziadne riesenie

POKRACUJ

Dokaz ze toto nam da vsetki riesenia
a ze pre urcitu hodnotu $y_0$ metoda nam uz neda ziadne riesenie pre ziadne $y$ take $y \ge y_0$
cize mozes po konecnom pocte hladani prestat hladat dalsie riesenia.

Honzc · 03. 01. 2012 08:03

↑ mipo:
ad a)
Zkus to takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 03. 01. 2012 09:31

Ahoj ↑ Honzc:,

Mozes dat url, kde sa najde ten tvoj software na kontrolu vysledkov.

Takto som mohol overit ze moja metoda co je vyssie je dokonala... co pochopopitelne je prijemne vediet.

Dakujem a Stastlivy Novy Rok 2012.

mipo · 03. 01. 2012 12:51

Super, moc děkuju. Nějak podobně jsem to zkoušela, ale teprve po vašich radách vím přesně. A co ten druhý příklad? Napadá vás něco?

mák · 03. 01. 2012 15:29

Tady jsem napsal krátký program v wxMaxime, který vypíše čísla [x,y] pro které platí výše uvedené.
Také vypíše počet řešení.
Je velmi rychlý, neboť nezkouší čísla, která vyhovují, ale rovnou je vypíše.

Code:

fR(n):= block([x,y,L,p,q,k,S:[],T:[]],
    L: divisors(n),
    for p in L do (
        for q in L do (
            k: p/q,
            if k>=1 then S: cons(k,S)
        )
    ),
    S: unique(sort(S)),
    print("Počet řešení:",length(S)),
    for k in S do (
        x: n*(k+1),
        y: n*(1/k+1),
        T: cons([x,y],T) 
    ), T
);

Zkouška pro n=14:

fR(14);
Počet řešení: 5
[[210,15],[112,16],[63,18],[42,21],[28,28]]

mipo · 03. 01. 2012 16:27

Jojo, děkuju. Tenhle už mám. Ještě bych potřebovala poradit s tím druhým - Dokažte že platí 181/3^105 + 4^105

vanok · 04. 01. 2012 13:02 — Editoval vanok (04. 01. 2012 13:04)

↑ mipo:,
na ten druhy, poviem ti pravdu, nemal som casna to mysliet.
Jedina dobra novinka je mechanicka odpoved
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3^ … or+n%3D105
Ktora nam dava, ze skutocne mame tu delitelnost.

ruamaixanh · 04. 01. 2012 13:59

Zdravím,
k b) stačí ověřit, že
181/3^5 + 4^5

vanok · 04. 01. 2012 15:05

Ahoj ↑ ruamaixanh:,
To som videl ze 181/3^5 + 4^5, ale preco to staci ?

Honzc · 05. 01. 2012 08:20 — Editoval Honzc (05. 01. 2012 08:50)

↑ mipo:
ad b)
1. Platí dokonce i toto: $181\mid 3^{(2k-1)\cdot 5}+4^{(2k-1)\cdot 5}$ pro $k\in N$
a doknce i toto: $1267\mid 3^{(2k-1)\cdot 5}+4^{(2k-1)\cdot 5}$ pro $k\in N$
2. K výpočtu (důkazu):
Podívej se Sem a postupuj podle př. 7a.c
Pouze s použitím kalkulačky to lze "dokázat" takto: