Matematické Fórum

Prochycz

Zdravim,
potřeboval bych poradit s následujícím integrálem:
$\int_{-\infty}^{\infty}2\cdot cos(2\pi t)\delta (t)dt$
Kde $\delta (t)$ , představuje Dirackův impuls, a výsledek z důvodněte.
Nevim jak si poradit s tím Dirackovým impulsem a jak to následně z integrovat. Wolfram mi nenabídne žádné kroky, tak mě nic nenapadá.
Za případnou radu děkuji.

Rumburak

↑ Prochycz:
Jsi si jist, že je to zapséno správně ?
Např. $\int_{-\infty}^{\infty}2\cdot cos(2\pi t)\delta_a (t)dt$ by znamenalo $2\cdot cos(2\pi a)$ .

O teorii distribucí jsme tu nedavno měli téma, až ho najdu, dám sem odkaz.

EDIT. Slíbený odkaz

Stýv · 09. 01. 2012 14:55

viz http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta#As_a_measure

Prochycz

Zadání je určitě správný. Tohle není příklad z matiky, brali sme to okrajově v předmětu zabývajícím se zpracování signálu.
Bohužel nejsem z toho sem moc nepobral. Jediný teda co mě napadá je udělat něco takovýho, ale nevim jestli to je možný:
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt=1\nl\int_{-\infty}^{\infty}2\cdot cos(2\pi t)\delta (t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}2 \cdot cos(2\pi t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}2\cdot\delta (t)dt$
Ale stejně nevim dál co urobit.
Edit: Ikdyž teď sem si uvědomil, že tato úprava je nesmysl.

Rumburak · 09. 01. 2012 21:54

↑ Prochycz:
Možná že $\delta(t)$ znamená $\delta_0(t)$ a pak bychom měli $\int_{-\infty}^{\infty}2\cdot cos(2\pi t)\delta_0 (t)dt= 2\cdot cos(2\pi 0) = 2$ .
To by dávalo smysl ?

Ten Tvůj nápad mi nepřipadá jako správný.

Pavel Brožek · 09. 01. 2012 22:00

↑ Rumburak:

Určitě $\delta(t)$ znamená $\delta_0(t)$ , minimálně ve fyzice se takové značení velmi často používá.

Prochycz · 09. 01. 2012 22:12

$$$$ ↑ Rumburak: $$$$
Ano, uvědomil jsem si, že ten můj nápad byl nesmysl. Jinak ta Vaše úprava by i odpovídala výsledku, tak to bude nejspíš správně. Děkuju všem za pomoc.

Rumburak · 10. 01. 2012 09:34

↑ Pavel Brožek:
Díky, myslel jsem si to. A místo obecnějšího $\delta_a(t)$ se píše $\delta(t-a)$ .

Pavel Brožek

↑ Rumburak:

Jak myslíš „obecnějšího“? Mně to přijde v podstatě to samé. Distribuce $\delta$ je definována jako ( $\varphi$ je testovací funkce)

$\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0).$

Distribuce $\delta(t-a)$ je pak jen složení distribuce $\delta$ a funkce $t-a$ . $\delta_a$ se pak dá definovat buď jako

$\delta_a=\delta(t-a)$

nebo jako

$\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$

a dá se dokázat, že tyto definice jsou ekvivalentní.

Ale je samozřejmě možné, že se pletu.

Rumburak · 10. 01. 2012 11:53

↑ Pavel Brožek:

Podle mne se nepleteš.

To "obecnější" jsem myslel pouze v tom smyslu, že $\delta_0$ je speciálním případem obecnějšího $\delta_a$ , kde $\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$ .

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2012 14:44 — Editoval Prochycz (09. 01. 2012 14:44)

Integrál - Dirackův impuls

#2 09. 01. 2012 14:52 — Editoval Rumburak (09. 01. 2012 15:05)

Re: Integrál - Dirackův impuls

#3 09. 01. 2012 14:55

Re: Integrál - Dirackův impuls

#4 09. 01. 2012 18:23 — Editoval Prochycz (09. 01. 2012 21:48)

Re: Integrál - Dirackův impuls

#5 09. 01. 2012 21:54

Re: Integrál - Dirackův impuls

#6 09. 01. 2012 22:00

Re: Integrál - Dirackův impuls

#7 09. 01. 2012 22:12

Re: Integrál - Dirackův impuls

#8 10. 01. 2012 09:34

Re: Integrál - Dirackův impuls

#9 10. 01. 2012 10:10 — Editoval Pavel Brožek (10. 01. 2012 10:15)

Re: Integrál - Dirackův impuls

#10 10. 01. 2012 11:53

Re: Integrál - Dirackův impuls

Zápatí