Matematické Fórum

Arcasil · 12. 01. 2012 22:34

Zdravím,
Mám zde jednu pěknou řadu a zjistit, kdy řada diverguje, konverguje nebo konverguje absolutně v závislosti na parametru x.

$\sum_{n=1 }^{\infty } (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x+1)^{n}$

Prosím o kontrolu následujícího postupu:

Pomocí limitního odmocninového kritéria vyšetřím absolutní konvergenci

$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x+1)^{n}|}=|x+1|\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})|}= |x+1|$

neboť $\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=e^{\lim_{n\to\infty }\frac{ln(\sqrt{1+n}-\sqrt{n})}{n}}$

L'H $\frac{\infty }{\infty }$
$\lim_{n\to\infty }\frac{ln(\sqrt{1+n}-\sqrt{n})}{n}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2\sqrt{n+1}\sqrt{n}}=0$
tedy
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=e^{0}=1$

Takže pro $|x+1|<1, x \in (-2,0)$ konverguje řada absolutně.
Pro $|x+1|>1, x \in (-\infty ,-2)\cup (0,\infty )$ řada diverguje.

Zbývá zjistit, jak se řada chová pro x=-2,1.

Pro x= -2 dostáváme:

$\sum_{n=1 }^{\infty } (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(-1)^{n}$

,což je alternující řada na kterou použiji Leibnizovo kritérium.

Máme řadu ve tvaru A(n)(-1)^n. Ok
Limitu $\lim_{n\to\infty }{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$ jsem spočítal výše a vyšla 0. Ok
a1<a2<a3.... Úpravou $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}*\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$
$\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+2}}$ . Ok

Platí všechny tři podmínky takže řada konverguje.

Absolutně zatím ale netuším, jak vyřešit řadu pro x=0. :-) Nějaký nápad?

Děkuji

vanok · 12. 01. 2012 22:45

Ahoj ↑ Arcasil:↑ Arcasil:,
Tvoje praca sa moze trochu zjednodusit lebo mame

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac 1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Arcasil

↑ vanok: Mám dojem, že jsem to využil :). Je pravda, že to zřejmě šlo použít dříve.

Alkac · 12. 01. 2012 22:59

Pro x=0 pouzij to co ti napsal Vanek a hned uvidis ze to diverguje, protoze mas v citateli odmocninu z n.

Arcasil

↑ Alkac:↑ vanok:

Ahaaa, už to vidím, díky moc. Zbytek je v pořádku?

vanok · 12. 01. 2012 23:23

Alebo este:

$\sum_{n=1 }^{N} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(0+1)^{n}=\sum_{n=1 }^{N} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{N+1}-1$

Arcasil · 13. 01. 2012 13:34

Aha, tak jsem zjistil, že to nevidím. Ještě jednou prosím, jak jste zjistili, že řada $\sum_{n=1}^{\infty } \frac {1^n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ diverguje? Podílové ani odmocninové kritérium mi nevychází.

halogan · 13. 01. 2012 13:58

Srovnat s řadou 1/n^a, jejíž konvergenci jste si jistě ukazovali pro různá a.

Alkac · 13. 01. 2012 14:43

Presne tak, srovnavaci kriterium je mnohem dulezitejsi nez podilove nebo odmocninove!

Arcasil · 13. 01. 2012 16:00

↑ halogan:

Neukazovali, nejsem si jistý, ale jediné co mě napadá je srovnat to s 1/n a použít limitní srovnávací kriterium. Ano?

Alkac · 13. 01. 2012 16:58

Nebo pouzij treba integralni

Arcasil · 14. 01. 2012 03:12

Samozřejmě, že kdybychom integrální kriterium brali, tak je to to první co na tuhle řadu použiji. (dokonce i wolfram ukazuje pozitivní test na divergenci s tímto kriteriem). Musím ale použít nástroje co jsem probrali v letošním semestru :). Mohl by tedy někdo odpovědět na to srovnávací kriterium, popřípadě rovnou napsat řadu s kterou to srovnal a vyšlo to? Ať tohle rozvleklé téma můžu už konečně uzavřít. Díky

vanok · 14. 01. 2012 05:01

↑ Arcasil:,
pozri 3° prispevok:
tie tabulky by si mal kazdy vytlacit
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=17637

Poznamka 1;
prva limita $\sum_{n=1 }^{\infty } (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(x+1)^{n}$
vdaka uprave ↑ vanok:
dokonca sama pyta pouzit Cauchy-ove kriterium ( n°odmocnina...) co je potom trochu rychlejsie ako to ty robil

poznamka 2:

odpoved na tuto otazku ↑ Arcasil: (a pochopitelne $1^n=1$
je napr tu↑ vanok:...
lebo (co je zriedkave, ale uzitocne) mame VZOREC CO DA konecnu sumu...
a sa vidi ze ta diverguje k $+\infty$

Poznamka 3:
druhy hranicny -2 bod bol dobre vysetreny v tvojom prvom prispevku.

Arcasil · 14. 01. 2012 05:29

↑ vanok: Děkuji, vyřešeno.

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2012 22:34

Konvergence řady s parametrem

#2 12. 01. 2012 22:45

Re: Konvergence řady s parametrem

#3 12. 01. 2012 22:47 — Editoval Arcasil (12. 01. 2012 22:48)

Re: Konvergence řady s parametrem

#4 12. 01. 2012 22:59

Re: Konvergence řady s parametrem

#5 12. 01. 2012 23:03 — Editoval Arcasil (12. 01. 2012 23:04)

Re: Konvergence řady s parametrem

#6 12. 01. 2012 23:23

Re: Konvergence řady s parametrem

#7 13. 01. 2012 13:34

Re: Konvergence řady s parametrem

#8 13. 01. 2012 13:58

Re: Konvergence řady s parametrem

#9 13. 01. 2012 14:43

Re: Konvergence řady s parametrem

#10 13. 01. 2012 16:00

Re: Konvergence řady s parametrem

#11 13. 01. 2012 16:58

Re: Konvergence řady s parametrem

#12 14. 01. 2012 03:12

Re: Konvergence řady s parametrem

#13 14. 01. 2012 05:01

Re: Konvergence řady s parametrem

#14 14. 01. 2012 05:29

Re: Konvergence řady s parametrem

Zápatí