Matematické Fórum

Pavel Brožek

Hledal jsem na internetu zajímavé falešné nebo chybné (ale zdánlivě správné) důkazy a narazil jsem na dva zajímavé, z nichž Cauchyho chybný důkaz uvedu zde a druhý (nesouvisející) je v tématu Místnost se zrzavými lidmi. (Další jednoduché nesprávné důkazy jsem našel na wikipedii, je jich tam hodně a neřekl bych, že příliš zajímavé.) Cauchy důkaz dělal pro řady, ale to myslím není podstatné, stačí pak místo funkcí v posloupnosti vzít částečné součty řady.

Věta: Konvergentní posloupnost spojitých funkcí konverguje ke spojité funkci.

Důkaz (v moderním jazyce):

Mějme dáno $\varepsilon>0$ . Všechny funkce $f_n(x)$ jsou spojité, proto

$\exists \delta\forall a : |a|<\delta \Rightarrow |f_n(x+a)-f_n(x)|<\varepsilon$ .

Posloupnost konverguje v x, proto

$\exists N \forall n>N \quad|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ .

Posloupnost konverguje také v x+a, proto

$\exists N \forall n>N \quad|f_n(x+a)-f(x+a)|<\varepsilon$ .

Tedy

$|f(x+a)-f(x)|=|f_n(x+a)+$f(x+a)-f_n(x+a)$-f_n(x)+$f_n(x)-f(x)$|\leq\nl \leq|f_n(x+a)-f_n(x)|+|f_n(x+a)-f(x+a)|+|f_n(x)-f(x)|\leq3\varepsilon$

A proto je funkce f spojitá.

Zdroj (je tam i řešení, takže se nedívejte a řeště zde :-) ):
http://www.math.usma.edu/people/Rickey/ … yWrgPr.pdf

Lishaak · 14. 11. 2008 13:15

Mohu poprosit, abys tyty dva priklady rozdelil do dvou ruznych temat s vystiznymi nazvy? Rad bych, kdyby se v teto sekci prisneji nez jinde dodrzovala pravidla c. 2 a 3. Velmi to prispeje ke sprehledneni teto casti fora. Udelal bych to sam, ale jelikoz jeste zadny z moderatoru nema prava do sekce zajimave priklady, nemohu jakkoliv manipulovat s cizimi prispevky.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2008 13:01 — Editoval BrozekP (14. 11. 2008 13:29)

Falešné důkazy

#2 14. 11. 2008 13:15

Re: Falešné důkazy

Zápatí