Matematické Fórum

Dracke · 30. 09. 2012 17:02

Ahoj,
procvičuju si nějaké příklady k množinám, ale teď mě dva zaskočily.
1. Nechť $R_{1}=\{(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)\}$ , $R_{2}=\{(2,u),(4,s),(4,t),(3,t),(8,u)\}$ .
Zapište výčtem prvků relace $R_1{^{-1}}$ , $R_2{^{-1}}$ , $R_{2} o R_{1}$ , $(R_{2} o R_{1})^{-1}$ , $R_{1}^{-1} o R_{2}^{-1}$ .
$R_1{^{-1}}$ , $R_2{^{-1}}$ je mi jasné to akorád prohodím prvky, ale ty složení (kompozice) relací podle mě odporují definici a tím pádem by všechny byly prázdné množiny? Zdá se mi to trochu divné.

2. Dokažte, že pro libovolné dvě binární relace R, S platí $(S o R)^{-1} = R^{-1} o S^{-1}$ . Když si to vyzkouším na konkrétních množinách, tak je mi to jasné, ale jak postupovat s důkazem?

kompik · 30. 09. 2012 17:17 — Editoval kompik (30. 09. 2012 17:21)

Dracke napsal(a):
2. Dokažte, že pro libovolné dvě binární relace R, S platí $(S o R)^{-1} = R^{-1} o S^{-1}$ . Když si to vyzkouším na konkrétních množinách, tak je mi to jasné, ale jak postupovat s důkazem?

Staci tato linka?
http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_o … e_Relation

Dracke napsal(a):
ale ty složení (kompozice) relací podle mě odporují definici a tím pádem by všechny byly prázdné množiny?

Nie je mi jasne, co si myslel tym, ze odporuju definicii, ale napriklad $(1,u)\in R_2\circ R_1$ lebo $(1,2)\in R_1$ a $(2,u)\in R_2$ . Ulohou je vlastne najst vsetky taketo dvojice. (Mozno pomoze obrazok - hladas kam sa vies dostat dvojicou sipok, ak si predstavis R1 ako sipky ukazujuce z prvkov jednej mnoziny do druhej a R2 ako sipky ukazujuce z druhej do tretej mnoziny.)

Dracke · 30. 09. 2012 17:34

kompik napsal(a):
Staci tato linka?
http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_o … e_Relation

Bez codomain by ten důkaz udělat nešel? Ve skriptech o tomto nemáme ani zmínku. Pouze definiční obor (Dom) a obor hodnot (Im).

kompik napsal(a):
Nie je mi jasne, co si myslel tym, ze odporuju definicii, ale napriklad $(1,u)\in R_2\circ R_1$ lebo $(1,2)\in R_1$ a $(2,u)\in R_2$ . Ulohou je vlastne najst vsetky taketo dvojice. (Mozno pomoze obrazok - hladas kam sa vies dostat dvojicou sipok, ak si predstavis R1 ako sipky ukazujuce z prvkov jednej mnoziny do druhej a R2 ako sipky ukazujuce z druhej do tretej mnoziny.)

Takže $R_2\circ R_1$ a $R_1\circ R_2$ je stejná kompozice?

kompik · 30. 09. 2012 17:45

Dracke napsal(a):
Takže $R_2\circ R_1$ a $R_1\circ R_2$ je stejná kompozice?

Nie. $R_1\circ R_2$ bude v tomto pripade nedefinovana alebo prazdna mnozina (zavisi od presnej definicie, ktoru ste mali), lebo obor hodnot $H(R_2)=\{s,t,u\}$ a ziadny z prvkov s,t,u sa nevyskytuje v definicnom obore prvej relacie.

Treba si dat pozor aj na to, ze niektore texty definuju skladanie presne v opacnom poradi (podla mna sa to vyskytuje zriedkavejsie). Kedze sa v zadani bolo pytaju $R_2\circ R_1$ , tipujem, ze to mate v takom poradi, ako som pisal.

Dracke · 30. 09. 2012 17:57

↑ kompik:
Děkuji, s 1. příkladem už problém nemám.
U druhého bych potřeboval jednodušší Důkaz (bez Cdm(R)). Bohužel s důkazy teprve začínáme a ještě nemám tu zručnost, abych něco vymyslel sám.

kompik · 30. 09. 2012 18:05 — Editoval kompik (30. 09. 2012 18:06)

Dracke napsal(a):
2. Dokažte, že pro libovolné dvě binární relace R, S platí $(S o R)^{-1} = R^{-1} o S^{-1}$ . Když si to vyzkouším na konkrétních množinách, tak je mi to jasné, ale jak postupovat s důkazem?

Aby sme dokazali, ze sa dve mnoziny rovnaju, staci ukaza, ze kazdy prvok z jednej patri aj do druhej a obratene.

Teda chceme dokazat dve veci:
$(x,y) \in (S \circ R)^{-1} \Rightarrow (x,y) \in R^{-1} \circ S^{-1}$
$(x,y) \in R^{-1} \circ S^{-1} \Rightarrow (x,y) \in (S \circ R)^{-1}$
(Alebo ak by sa nam podarilo ukazat ekvivalenciu, mali by sme obe naraz.)

Nebudeme potrebovat nic, len definiciu skladania a inverznej relacie.
Podla definicie inverznej relacie mame:
$(x,y) \in (S \circ R)^{-1} \Leftrightarrow (y,x) \in S\circ R$
Podla definicie skladania mame
$(y,x) \in S\circ R \Leftrightarrow (\exists z) (y,z)\in R \land (z,x) \in S$
Ak opat pouzijeme (dvakrat) definiciu inverznej, tak vidime
$(\exists z) (y,z)\in R \land (z,x) \in S \Leftrightarrow (\exists z) (z,y)\in R^{-1} \land (x,z)\in S^{-1}$
No lenze ten posledny vyraz je (opat z definicie) len prepisanim toho, ze $(x,y)\in R^{-1}\circ S^{-1}$ .

Ak chces mozes si pozriet aj dokaz, ktory je v texte na tomto webe http://msleziak.com/vyuka/2012/temno/ (je to po slovensky).

Je tam len slovne rozpisane to, co som tu zapisal pomocou symbolov.

kompik · 30. 09. 2012 18:15

Dracke napsal(a):
kompik napsal(a):
Staci tato linka?
http://www.proofwiki.org/wiki/Inverse_o … e_Relation
Bez codomain by ten důkaz udělat nešel? Ve skriptech o tomto nemáme ani zmínku. Pouze definiční obor (Dom) a obor hodnot (Im).

Tu ide v podstate o to, ako presne ste definovali skladanie relacii.
Niekde je definovane tak, ze sa daju zlozit lubovolne dve relacie, niekde je $S\circ R$ definovane iba v pripade, ze R je relacia medzi A a B a S je relacia medzi B a C. (Cize aby malo zmysel hovorit o skladani, tak treba aj povedat mnoziny, s ktorymi pracujeme a mnozina kde prva relacia "konci" musi byt ta ista, kde druha "zacina".)

Pokial ste mali definiciu, kde sa daju zlozit hocijake dve relacie, tak mozes tu cast s domain a codomain uplne odignorovat.

Odhliadnuc od toho, je to v podstate ten isty dokaz, co som sa tu snazil napisat ja - takze si mozes vybrat, ktory je pre teba zrozumitelnejsi/prehladnejsi a skusit prejst ten.

Dracke · 30. 09. 2012 18:18

kompik napsal(a):
Aby sme dokazali, ze sa dve mnoziny rovnaju, staci ukaza, ze kazdy prvok z jednej patri aj do druhej a obratene.

Teda chceme dokazat dve veci:
$(x,y) \in (S \circ R)^{-1} \Rightarrow (x,y) \in R^{-1} \circ S^{-1}$
$(x,y) \in R^{-1} \circ S^{-1} \Rightarrow (x,y) \in (S \circ R)^{-1}$
(Alebo ak by sa nam podarilo ukazat ekvivalenciu, mali by sme obe naraz.)

Nebudeme potrebovat nic, len definiciu skladania a inverznej relacie.
Podla definicie inverznej relacie mame:
$(x,y) \in (S \circ R)^{-1} \Leftrightarrow (y,x) \in S\circ R$
Podla definicie skladania mame
$(y,x) \in S\circ R \Leftrightarrow (\exists z) (y,z)\in R \land (z,x) \in S$
Ak opat pouzijeme (dvakrat) definiciu inverznej, tak vidime
$(\exists z) (y,z)\in R \land (z,x) \in S \Leftrightarrow (\exists z) (z,y)\in R^{-1} \land (x,z)\in S^{-1}$
No lenze ten posledny vyraz je (opat z definicie) len prepisanim toho, ze $(x,y)\in R^{-1}\circ S^{-1}$ .

Ak chces mozes si pozriet aj dokaz, ktory je v texte na tomto webe http://msleziak.com/vyuka/2012/temno/ (je to po slovensky).

Je tam len slovne rozpisane to, co som tu zapisal pomocou symbolov.

V zásadě jsem to pochopil díky tomuto. Moc děkuji za pomoc.

jelena · 01. 10. 2012 11:09

Zdravím v tématu,

jen drobná historicko/statistická vsuvka - tento soubor úloh dle mého pozorování se objevuje pouze v sudém roce, přidám odkazy na důkazy od kolegů:
2008
2010.

Děkuji autorům.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2012 17:02

Množiny + důkaz

#2 30. 09. 2012 17:17 — Editoval kompik (30. 09. 2012 17:21)

Re: Množiny + důkaz

Dracke napsal(a):

Dracke napsal(a):

#3 30. 09. 2012 17:34

Re: Množiny + důkaz

kompik napsal(a):

kompik napsal(a):

#4 30. 09. 2012 17:45

Re: Množiny + důkaz

Dracke napsal(a):

#5 30. 09. 2012 17:57

Re: Množiny + důkaz

#6 30. 09. 2012 18:05 — Editoval kompik (30. 09. 2012 18:06)

Re: Množiny + důkaz

Dracke napsal(a):

#7 30. 09. 2012 18:15

Re: Množiny + důkaz

Dracke napsal(a):

kompik napsal(a):

#8 30. 09. 2012 18:18

Re: Množiny + důkaz

kompik napsal(a):

#9 01. 10. 2012 11:09

Re: Množiny + důkaz

Zápatí