Matematické Fórum

Zeck · 30. 11. 2012 04:51 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 04:55)

$\int_{0}^{2\pi }\cos^2 t.\sin^2 t dt=|tg (t)=p; x=arctg(p); dx=\frac{1}{1+t^2}dp; sin(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t2}}; cos(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t2}} | =$
$=\int_{0}^{2\pi }\frac{t^2}{t^6+3t^4+3t^2+1}$

riešim tento priklad, podľa MAW je to výhodné riešiť tak ako je napísané v prvom riadku, ale mam k tomu otazky :)
1.prečo je substitucia taka ako je? teda tg(t) keď tg(t) sa ani v zadaní nevyskytuje
2.ako dostanem sin(t)? lebo netuším ako sa k tomu dopracovať...
vopred dakujem. :)

Bati · 30. 11. 2012 08:52

Ahoj,
substituci sinus si můžeš zkusit, uvidíš, že povede na integrál, který bez dalších substitucí nespočítáš. Tangensová substituce se používá, pokud jsou v integrálu goniometrické fce v sudých mocninách, a to je tvůj případ. Kdyby nebyly, musíš použít obecnou goniometrickou substituci tg(x/2). Jak z takových substitucí vyjádřit jednotlivé funkce je popsáno tady: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/txc3db3g.htm
Měl by sis přinejmenším celou tu stránku nejdřív nastudovat.

jelena · 30. 11. 2012 10:20

Zdravím v tématu,

ještě doplním, že MAW také nabízí možnost výběru metody (u goniometrických funkcí v zadání je vhodné zkusit zvolit goniometrické úpravy - to doporučuje i vážený autor, na str. od kolegy ↑ Bati: také je uvedeno, kdy jsou vhodné úpravy). Zde použití úprav (vzorců dvojnásobných úhlů) velmi vhodné.

Zeck · 30. 11. 2012 13:41

stranka je to dobra, ale ja stale neviem prist na to ako dostat sin(t). neviete mi este poradit?

jarrro · 30. 11. 2012 13:50 — Editoval jarrro (30. 11. 2012 13:50)

↑ Zeck:veď je to tam napísané
typ $\int{R$\sin{\(x$},\cos{$x$}\)\mathrm{d}x}$
odstavec 2

Zeck · 30. 11. 2012 14:54 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 14:58)

↑ jarrro:

no ved tam pozeram cely cas a nechapem :) som zaostalejsi, co uz :)

ako napr. dostanem v tom 2.odstavci z y^2 sin^2(x) ?

jelena · 30. 11. 2012 16:15

↑ Zeck:

:-) ani ne, princip označování témat za vyřešená jsi pochopil.

Zřejmě bys chtěl tento vztah odvodit. tedy $y=\mathrm{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}$ . Po umocnění:
$y^2=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ + použití $\sin ^2 x+ \cos ^2 x =1$ (+podmínky pro platné úpravy). Můžeš odvozovat. To je to, co jsi potřeboval? Děkuji.

Zeck · 30. 11. 2012 18:51

↑ jelena:

jeeej uz som na to prisiel :) dakujem :)

Zeck · 30. 11. 2012 19:23 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 19:31)

$\int_{0}^{2\pi }\cos^2 t.\sin^2 t dt=|tg (t)=p; x=arctg(p); dt=\frac{1}{1+t^2}dp; sin(t)=\frac{t^2}{{1+t2}}; cos(t)=\frac{1}{{1+t2}} | =$
$=\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{p^2+1}.\frac{p^2}{p^2+1}.\frac{1}{p^2+1}dp=\int_{0}^{2\pi }\frac{p^2}{p^6+3p^4+3p^2+1}dp$

po dosadeni mi vyslo toto. hranice mam nechat povodne? lebo po prepocitani mi vychadza aj u pˇ1 aj u pˇ2 nula.

jelena · 30. 11. 2012 22:09

↑ Zeck:

to je dobře, že přišel :-) K celému výpočtu - ještě si projdi proměnné, co používáš ( $x$ nepoužíváš, ale máš ho v zápisu). Samotné dosazování a úpravy věřím, že jsi kontroloval.

Ohledně záměny mezí - jsou zde 2 momenty:

a) integrována funkce je sudá, tedy lze využit při změně mezí,

b) více důležité je, že tg(t) není definován na celém intervalu, v x=pi/2 a 3pi/2 definován není. Když se podíváš na jeden z příkladů z odkazované stránky, je to podrobně vysvětleno s využitím nevlastního integrálu. Nebo zde kolega vysvětloval úskalí použití tg(x). tedy úplně poctivě bys měl rozdělit na intervaly ve shodě s definičním oborem tg(x).

Záleží, co máte povoleno - buď jste to podrobně probrali a máte povoleno samostatně počítat integrál jako neurčitý a použit původní meze až po nevrácení substituce - nepěknost je rozebrána kolegy. Nebo skutečně dělit interval na "povolené úseky".

Nebo si řekneš, že univerzální goniometrické substituce již bylo dost a půjdeš upravit $\cos^2 t\sin^2 t$ na slušný vzorec pomocí goniometrických vzorců pro dvojnásobný úhel.

Případně se ještě poptej - v tématu máš kolegy Bati a Jarrro, poskytnou kvalifikovanější výklad, než ten můj.

Zeck · 30. 11. 2012 22:35

ok, dakujem pekne. :)

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2012 04:51 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 04:55)

Určitý integrál

#2 30. 11. 2012 08:52

Re: Určitý integrál

#3 30. 11. 2012 10:20

Re: Určitý integrál

#4 30. 11. 2012 13:41

Re: Určitý integrál

#5 30. 11. 2012 13:50 — Editoval jarrro (30. 11. 2012 13:50)

Re: Určitý integrál

#6 30. 11. 2012 14:54 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 14:58)

Re: Určitý integrál

#7 30. 11. 2012 16:15

Re: Určitý integrál

#8 30. 11. 2012 18:51

Re: Určitý integrál

#9 30. 11. 2012 19:23 — Editoval Zeck (30. 11. 2012 19:31)

Re: Určitý integrál

#10 30. 11. 2012 22:09

Re: Určitý integrál

#11 30. 11. 2012 22:35

Re: Určitý integrál

Zápatí