Matematické Fórum

thirdknown · 19. 02. 2013 23:15

Zde je můj předešlý dotaz ohledně Lagrangeova polynomu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57242

Rád bych se zeptal ještě podruhé:

Mám ještě zobrazit chybu tohoto polynomu a (asi) nějakou druhou chybu, ale nevím, jak se nazývá.

Napsal jsem si to tedy takto:

První (polynom mínus sinus(x))

(((x)*(x-(pi/4))*(x-(pi/3))*(x-(pi/2))) / ((pi/6)*((pi/6)-(pi/4))*((pi/6)-(pi/3))*((pi/6)-(pi/2))) * (1/2))

+

(((x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/3))*(x-(pi/2))) / ((pi/4)*((pi/4)-(pi/6))*((pi/4)-(pi/3))*((pi/4)-(pi/2))) * (sqrt(2)/2))

+

(((x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/4))*(x-(pi/2))) / ((pi/3)*((pi/3)-(pi/6))*((pi/3)-(pi/4))*((pi/3)-(pi/2))) * (sqrt(3)/2))

+

(((x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/4))*(x-(pi/3))) / ((pi/2)*((pi/2)-(pi/6))*((pi/2)-(pi/4))*((pi/2)-(pi/3)))) - sin(x)

Druhý

|((x)*(x-(pi/4))*(x-(pi/3))*(x-(pi/2)))*(x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/3))*(x-(pi/2))*((x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/4))*(x-(pi/2)))*((x)*(x-(pi/6))*(x-(pi/4))*(x-(pi/3)))
*
(1/(4*3*2*1))|

Vyšly mi tyto grafy:

Chtěl jsem se zeptat, jak bych je měl nazvat správně a zda jsou opravdu dobře.

Děkuji moc
Pavel

user · 19. 02. 2013 23:45 — Editoval user (19. 02. 2013 23:45)

Ahoj,
na zobrazení chyby bych použil vykreslení $|L_n(x)-f(x)|$ .
Vzorec pro chybu na tabuli je špatně.
Má být
$L_n(x)-f(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_n(x)\\ \omega_n(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_{n+1})$
Interval pro braní $\xi$ je na tabuli také špatně. Je to nejmenší interval obsahující $x,x_1,x_2,\dots,x_{n+1}$ . Kdybych to měl napsat odhadem jako to máš uvedeno, tak:
$|L_n(x)-f(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}\omega_n(x)\\ M=\max_{x\in I}|f^{(n+1)}(x)|$ I je výše popsaný interval.

martisek · 20. 02. 2013 12:23

↑ thirdknown:

Na té tabuli je opravdu zmatek - uzlové body indexovány od jedničky, interval od nuly. Máme-li n+1 uzlových bodů, musí být derivace n+1 řádu (viz user). Zápis $x \in <x_0;x_n>$ ale naznačuje, že těch bodů je dokonce n+2, takže i ta derivace by měla být řádu n+2.

Tou "druhou chybou" je asi míněna chyba relativní (na rozdíl od této, která je absolutní).
Relativní chyba je absolutní chyba vztažená k funkční hodnotě (často se udává v procentech) - tedy

$\frac {|L_n(x)-f(x)|} {f(x)}$ (popř. *100%)

Matematické Fórum

#1 19. 02. 2013 23:15

Lagrangeův polynom 2

#2 19. 02. 2013 23:45 — Editoval user (19. 02. 2013 23:45)

Re: Lagrangeův polynom 2

#3 20. 02. 2013 12:23

Re: Lagrangeův polynom 2

Zápatí