Matematické Fórum

Jozef3 · 23. 03. 2013 18:49

Ahoj.
Mám takový problém, nad nímž jsem bezúspěšně strávil hodně času.
Jak mám určit parametrickou rovnici křivky, když vím, že její křivost je v každém bodě 5 a torze v každém bodě je -2? Je mi jasné, jak tyto úlohy (převádění z přirozených rovnic na parametrické) řešit pro rovinné křivky (tj. křivky s nulovou torzí). Hledáním na internetu jsem zjistil akorát to, že ve 3D už je tento problém velmi složitý a vede na soustavy diferenciálních rovnic. Můj příklad by ale vůbec složitý být nemusel, neboť křivost a torze mé křivky jsou konstantní. Jak to ale mám udělat?
Děkuji za vaše rady.

kexixex · 23. 03. 2013 19:23

↑ Jozef3:
Ahoj
neplati nahodou nejake tvrzeni typu "konstanti pomer torze a krivosti -> krivka je zobecnena sroubovice", nebo tak neco? Zkusil bych najit neco takoveho...

Jozef3 · 23. 03. 2013 19:33

↑ kexixex: Ano, to jsem si také uvědomil, ale je zde problém. A sice ten, že zobecněná šroubovice nemá žádné hezké obecné parametrické vyjádření, které by mi umožnilo vyřešit příklad. Takže uvědomit si toto nám příliš nepomůže.

Bati · 23. 03. 2013 20:01 — Editoval Bati (23. 03. 2013 20:04)

↑ Jozef3:
Ahoj,
a chceš najít všechny šroubovice, které splňují ty dvě podmínky, nebo jen nějakou? Pokud ti stačí jedna, tak přece stačí umístit si tu šroubovici v prostoru co nejšikovněji (třeba, aby její osa byla rovnoběžná s osou z a procházela počátkem). Víme přece, že křivky ve shodnosti v R^3 mají stejnou křivost a torzi.

Jozef3 · 23. 03. 2013 21:12

↑ Bati:
Jak ovšem zvolit to šikovné umístění?? Když zvolím obecnou parametrickou rovnici šroubovice x(t)=R*sin(t), y(t)=R*cos(t), z(t)=at a vyjádřím si z toho torzi a křivost, tak pak řeším soustavu dvou kvadratických rovnic pro neznámé a a R, kterou nelze rozumně vyřešit. Co přesně myslíš tím šikovným umístěním? Jak by vypadala parametrická rovnice té šroubovice (se dvěma neznámými, které bych ze znalosti křivosti a torze dopočítal)?

Bati · 23. 03. 2013 21:24 — Editoval Bati (23. 03. 2013 21:26)

↑ Jozef3:
Mám na mysli přesně tu parametrizaci, co píšeš. Trochu jsem si započítal a došel k rovnicím
$\frac{R}{R^2+a^2}=5\nl\frac{a}{R^2+a^2}=-2$
Tvrdíš mi, že tahle soustava "nelze rozumně vyřešit"? Já si teda z obou rovnic vyjádřil $R^2+a^2$ , porovnal a vyšly mi dost "rozumná" čísla.

Jozef3 · 23. 03. 2013 21:35

↑ Bati:
Ha, omlouvám se. Ve výpočtu jsem udělal chybu a pak mi ta druhá rovnice vyšla $\frac{aR^{2}}{R^{2}+a^{2}}$
a ta opravdu rozumné řešení nemá. Takhle je to samozřejmě jednoduché.
Moc děkuji za ochotu!

Jozef3 · 23. 03. 2013 21:36

P.S.: Ten výraz se samozřejmě měl rovnat -2, což jsem zapomněl napsat.

Bati · 23. 03. 2013 21:41

↑ Jozef3:
Aha. Rádo se stalo.
PS. Zajímalo by mě, jestli všechny šroubovice umístěné takto musí mít parametrizaci toho tvaru, který jsme uvažovali.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2013 18:49

Přirozená rovnice křivky

#2 23. 03. 2013 19:23

Re: Přirozená rovnice křivky

#3 23. 03. 2013 19:33

Re: Přirozená rovnice křivky

#4 23. 03. 2013 20:01 — Editoval Bati (23. 03. 2013 20:04)

Re: Přirozená rovnice křivky

#5 23. 03. 2013 21:12

Re: Přirozená rovnice křivky

#6 23. 03. 2013 21:24 — Editoval Bati (23. 03. 2013 21:26)

Re: Přirozená rovnice křivky

#7 23. 03. 2013 21:35

Re: Přirozená rovnice křivky

#8 23. 03. 2013 21:36

Re: Přirozená rovnice křivky

#9 23. 03. 2013 21:41

Re: Přirozená rovnice křivky

Zápatí