Matematické Fórum

lucille · 27. 04. 2013 12:34

Ahoj, mám dokázat, že lineární obal se nezmění, pokud nahradím jeden v vektorů lineární kombinací ostatních.

[A] je množina všech lineárních kombinací vektorů $u_1...u_n$ takže $[A]=\{\alpha _1u_+\alpha _2u_2+...+\alpha _nu_n;\alpha_i\in T\}$

Vektor $u_i$ nahradím jeho součtem s lineární kombinací ostatních:

$[A.]=\{\alpha _1u_+\alpha _2u_2+...+\alpha _i(u_i+\beta _1u_1+...\beta _nu_n)+...+\alpha _nu_n\}$

$[A.]=\{\alpha _1u_+\alpha _2u_2+...+\alpha _iu_i+\alpha _i\beta _1u_1+...+\alpha _i\beta _nu_n+...+\alpha _nu_n;\alpha ,\beta \in T\}$

$[A.]=\{(\alpha_1+\alpha_i\beta_1)u_1+(\alpha_2+\alpha_1\beta_2)u_2+...+(\alpha_n+\alpha_i\beta_n)u_n;\alpha ,\beta \in T\}$

$[A.]=\{\gamma _1i_1+\gamma_2u_2+...+\gamma_nu_n;\gamma\in T\}$

$[A.]=[A]$

tahle část je dobře, ale bylo mi to vráceno s tím, že je to jenom půlka, takže co dál?

Rumburak

↑ lucille:
Ahoj.

Tvrzení

lineární obal se nezmění, pokud nahradím jeden z vektorů lineární kombinací ostatních

není pravdivé. Příklad v $\mathbb{R}^3$ : $u_1 := (1, 0 , 0) , u_2 := (0, 1 , 0), u_3 := (0, 0 , 1)$ , $[u_1, u_2, u_3 ]= \mathbb{R}^3]$ ,
avšak $[u_1, u_2, u_1 + u_2]$ (vektor $u_3$ jsme nahradili vektorem $u_1 + u_2$ , který je LK vektorů $u_1 , u_2$ ) není totožný s $\mathbb{R}^3$ .

Dokazované tvrzení patrně mělo znít

lineární obal se nezmění, pokud k některému vektoru přičtu lineární kombinací ostatních.

Návod k důkazu:

Mějme vektory

(1) $u_1, ..., u_n$ ,

jejichž lin. obalem je $V$ , a vektory

(2) $u_1, ..., u_{n-1}, u_n + (a_1u_1 + ... + a_{n-1}u_{n-1})$ ,

jejichž lineárním obalem je $W$ . K důkazu $V=W$ je potřeba ukázat dvě věci:

1) že každou LK vektorů (1) lze vyjádřit jako LK vektorů (2) , čímž bude dokázána inkluse $V\subseteq W$ ,

2) že každou LK vektorů (2) lze vyjádřit jako LK vektorů (1), čímž bude dokázána inkluse $W\subseteq V$ .

lucille · 27. 04. 2013 15:06

ok, špatně opsané zadání, promiň:-)
ale moje část důkazu (i přes ty překlepy) je tedy ta druhá část tvého návodu, ne?
(až na to že mám jiný písmenka a přičítám k vektoru $u_i$ místo k $u_n$ )

Rumburak

↑ lucille:

V zásadě máš pravdu, až na to, že z Tvého zápisu není jasné, KTERÝ vektor jsi nahradila tou LK OSTATNÍCH ,
a to je formální chyba.

Přechozí výtka sama zasluhuje výtku.

OPRAVA:

Z Tvého formálního zápisu není jasné, že přičtená LK je LK OSTATNÍCH vektorů a to je formální chyba.

lucille · 27. 04. 2013 16:40

mám to tam slovně napsané, to nestačí?^^

Rumburak · 29. 04. 2013 09:32

Promiň, ve spěchu jsem to napsal blbě. .
Samozřejmě žádný vektor nenahrazujeme lineární kombinací (jak již jsme probírali), ale k vektoru $u_i$ PŘIČÍTÁME
lin. komb. OSTATNÍCH. V tom samotném formálním zápise

$[A.]=\{\alpha _1u_+\alpha _2u_2+...+\alpha _i(u_i+\beta _1u_1+...+\beta _nu_n)+...+\alpha _nu_n\}$

ale není jasné, že $\beta _1u_1+...+\beta _nu_n$ je lin. komb. OSTATNÍCH (tj. že v ní není zahrnut vektor $u_i$ ).
To by se mělo ošetřit třeba přidáním podmínky $\beta_i = 0$ . Ale je to jen formalita.

lucille · 09. 05. 2013 21:01

dobře, tohle jsem dořešila, ale nevím si vůbec rady jak začíst tu druhou půlku. můžeš ještě nějak napovědět prosím?

Rumburak

↑ lucille:

Proveďme rekapitulaci. Máme tedy z vektorů téhož prostoru sestavené seznamy (uspořádané $n$ -tice)

$A = (\vec{u}_1, ... , \vec{u}_n) , C = (\vec{v}_1, ... , \vec{v}_n)$ ,
splňující

$\vec{v}_k = \vec{u}_k (k = 1, ... , n-1) , \vec{v}_n = \vec{u}_n + \vec{w} , \text{kde} \vec{w} = b_1\vec{u}_1 + ... + b_{n-1}\vec{u}_{n-1}$ .

Máme dokázat, že $[A] = [C]$ (rovnost lineárních obalů). K tomu stačí ukázat, že každou LK vektorů z $C$ je možno vyjádřit
jako LK vektorů z $A$ (tím bude dokázáno $[C]\subseteq [A]$ ) a naopak. Postupoval bych takto:

1) Nechť $\vec{x} = a_1\vec{v}_1 + ... + a_n\vec{v}_n \in [C]$ . Potom

$\vec{x} = a_1\vec{v}_1 + ... + a_{n-1}\vec{v}_{n-1} + a_n\vec{v}_n = \\=a_1\vec{u}_1 + ... + a_{n-1}\vec{u}_{n-1} + a_n(\vec{u}_n + \vec{w}) = \\= a_1\vec{u}_1 + ... + a_{n-1}\vec{u}_{n-1} + a_n\vec{w} + a_n\vec{u}_n =\\= (a_1 + a_nb_1)\vec{u}_1 + ... + (a_{n-1} + a_nb_{n-1})\vec{u}_{n-1} + a_n\vec{u}_n$ ,

tím je dokázáno $\vec{x} \in [A]$ , potažmo $[C]\subseteq [A]$ .

2) Analogickým zppůsobem, jakým byl seznam $C$ vytvořen ze seznamu $A$ , je možno seznam $A$ vytvořit ze seznamu
$C = (\vec{v}_1, ... , \vec{v}_n)$ , položíme-li

$\vec{u}_k = \vec{v}_k (k = 1, ... , n-1) , \vec{u}_n = \vec{v}_n + \vec{y} , \text{kde} \vec{y} = (-b_1)\vec{v}_1 + ... + (-b_{n-1})\vec{v}_{n-1}$ .

Musí tedy podle 1. kroku analogicky platit $[A]\subseteq [C]$ . Ale nebyl by problém provést důkaz podrobně - modifikací důkazu z prvního kroku.

PS.
Lineární obal vektorů nezávisí ne jejich pořadí, proto není na újmu obecnosti, když jsem si vektory seřadil tak, aby LK ostatních
byla přičítána k poslednímu vektoru.