Matematické Fórum

vanok · 12. 09. 2012 19:42

upozornenie:
tu najdete novu ulohu na september

http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

vanok · 15. 09. 2012 12:24 — Editoval vanok (28. 04. 2015 18:56)

Pozdravujem,

Tu pridavam jednoduchu poznamku, co sa tyka rovnice osy dvoch priamok danych ich rovnicou v rovine, ktora sa nezda velmi znama na fore.
Akoze, tento jednoduchy vysledok je pekny, tak iste ma svoje miesto tu.

1.Explicitna forma:
Nech su
$y = mx + q$
$y = m_1x + q_1$

rovnice dvoch priamok ktore sa pretinaju v bode $P(x_0,y_0)$ .
Potom rovnice osy tychto dvoch priamok
$y - y_0 = k(x - x_0)$ a
$y - y_0 = -\frac {x - x_0} k$

kde
$m = \tan (\alpha )$
$m _1= \tan (\alpha _1)$
a $k = \tan (\frac { \alpha +\alpha _1} 2)$

2. Implicitna forma :

Dve priamky rovnic :
$ax + by + c = 0$ à
$a_1x + b_1y + c_1= 0$

maju rovnice ich osy :
$\frac {ax + by + c }{\sqrt {a^2+b^2}}= \pm \frac {a_1 x + b_1 y +c_1} {\sqrt {a_1^2+b_1^2}}$

vanok · 24. 09. 2012 14:22 — Editoval vanok (24. 09. 2012 14:25)

Pekny klasicky sucet rady:

$\sum_{k=1}^{ \infty} \arctan(1/k^2) = \arctan\left(\frac{1-\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}} {1+\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}\right)$

Ma ho chut niekto dokazat, ( dokaz urobit v tomto vlakne http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=304274#p304274 )

vanok · 29. 09. 2012 18:02 — Editoval vanok (29. 09. 2012 18:05)

↑ vanok:

Poznamka:
V AMM ( aug.-sept.1991) je riesenie otazky E3375, ktore da
$\tan \sum_{k=1}^{ \infty} \arctan(1/k^2) = \frac{1-\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}} {1+\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}$

vanok · 04. 10. 2012 11:50

Teraz
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
tato strana je aktualizovana a najdete tam oktobrovy problem.
Pekna zabava, pre amaterov funkcionalnych rovnic.

vanok · 07. 10. 2012 17:07 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:20)

Pozdrav vsetkym citatelom tohto prispevku.
citanie vlakna http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=50174 , mi dalo myslienku na:
Poznamka tykajuca sa dokazu vety
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické
vdaka zakladom teorie rozsireni telies (extentions)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mozme dat pomerne jednodnoduchsi dokaz tejto vety...
Tak mame ( uvediem trosicku vseobecnejsiu teoriu )
Def. Ak existuje nenulovy polynom $P \in K[X]$ taky, ze $P(\alpha)=0$ ,potom, rada
$(1;\alpha;\alpha ^2;...)$ je linearne zavisla. (dokaz nechany citatelovy).

Ak $\alpha^n$ je linearne zavisla na $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$ , tak $\alpha^{n+1}$ je linearne zavisla na
$(\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n+1}$ ( vidime to vdaka nasobeni z $\alpha$ v predoslej situacii) a preto
$\alpha^{n+1}$ je linearne zavisla na $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$ ......ATD $\alpha^{n+2}$ .....

Z toho mame, ze konesna postupnost $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$ generuje $K$ -lin priestor $K[\alpha]$ hodnot v $\alpha$ polynomov na $K$ .( $K[\alpha]$ je aj okruh generovany telesom $K$ a $\alpha$ )

Tato uvaha, nam dala uz tieto vysledky
Algebricke "cislo" na $K$ , je prvok telasa $K$ taky, ze jeho postupnost mocnin, je linearne zavisla.
A naviac: $K$ -lin priestor $K[\alpha]$ lin priestor ktory generuje je konecnej dimenzie.

Vseobecnejsie, ak vybereme, lubovolny prvok $\beta$ , v nejakom rozsireni $L$ konecneho stupna telesa $K$ ,lin priestor $K[beta]$ je podpriestor telesa $L$ a tak konecneho rozmeru, a preto $\beta$ je algebricky na $K$ .
To nam da
Kazdy prvok rozsirenia konecneho stupna telesa $K$ je algebricky na $K$

vanok · 30. 10. 2012 14:41 — Editoval vanok (01. 11. 2012 18:39)

Co sa tyka radov, tato pekna teorema je zaujimava (iste najdete na co ju pouzit)
Teorema:
Nech $(u_n)$ je divergentna rada zo striktne kladnymy clenmy.
Oznacme $(S_n)$ jej sumu radu $n$ , potom rada
$$ \frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}}$$ je
konvergentna ak $\alpha >1$ ,
divergentna ak $\alpha <1$ .

Mozte ju skusit dokazat tu
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=312706#p312706

Z tejto teoremy pre vhodne vybey $u_n$ , dostaneme vysledky pre Riemann-ove rady, pre Bertrand-ove rady .... Ze je to magicke!

vanok · 16. 11. 2012 17:53 — Editoval vanok (16. 11. 2012 18:32)

Kazdy iste pozna peknu teoremu od G.A. Pick-a
http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

Jeho zivot je asi menej znamy:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Georg_Alex … .C5.BDivot

vanok · 10. 12. 2012 16:58

Videli ste poslednu ulohu tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
Tu je jeho kopia

Find all positive integers such that $n+184$ and $n-285$ are both cubes of integers.

Zabavne, ze. Nevahajte poslat vase riesenie podla instrukcii.

vanok · 02. 01. 2013 13:53 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:55)

na riesenie decembroveho problemu pozrite sa tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

Pre zaujimavost, citujem tu komentar za riesenim:

Comments. Our December problem was suggested by the Correspondence Mathematical Competition in Slovakia 2006/7 ...

Tu mate tiez kopiu ulohy na januar

You have five line segments such that every choice of three of them can be used as the sides of a triangle. (This means that for any three of the segments, the sum of the lengths of the smaller two segments must exceed the length of the third.) Prove that at least one of these ten possible triangles must be acute.

Na detaily pozrite na uz citovane URL.

vanok · 05. 02. 2013 08:21 — Editoval vanok (05. 02. 2013 08:24)

Skuste vyriesit ulohu na februar

Find all real-valued functions f(x) such that
$f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$
for all real numbers and .

Podrobnosti na
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

vanok · 26. 02. 2013 16:43 — Editoval vanok (01. 03. 2013 03:21)

V prispevku #26 a dalsych na tomto vlakne sme trochu hovorili o Kurzweil-Henstock integraly ako aj o matematikovy Kurzweilovy

Toto vlakno tiez pise na tu temu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57523

tak nevahajte a si ho tiez precitajte.

vanok · 03. 03. 2013 13:27 — Editoval vanok (03. 03. 2013 13:29)

A tento mesiac to zladnete?

A unit fraction is the reciprocal of a positive integer . The unit fraction $\frac 1{10}$ can be represented as a difference of unit fractions in the following four ways:
$\frac 1{10}=\frac 1{5}-\frac 1{10}$
$\frac 1{10}=\frac 1{6}-\frac 1{15}$
$\frac 1{10}=\frac 1{8}-\frac 1{40}$
$\frac 1{10}=\frac 1{9}-\frac 1{90}$
In how many ways can the fraction $\frac 1{ 2013}$ be expressed in the form
$\frac 1 x-\frac 1 y$
where x and y are positive integers?

Podrobne je to tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

Honza90 · 04. 04. 2013 20:31

Velmi zajímavý mi připadá fakt, že minimální plocha má v každém bodě nulovou střední křivost.

vanok · 14. 04. 2013 13:32

Tu je uloha na april

Find all pairs $c$ and $d$ of real numbers such that all roots of the polynomials
$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ and } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$
are nonnegative real numbers.

dana na http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

vanok · 06. 05. 2013 16:08

Pozdravujem
v temach : zaujimave ulohy z algebry som navrhol niekolko cviceni z algebry.
Podla mna ide ozaj o zaujimave a poucne cvicenia, a mienit v tom pokracovat.

vanok · 06. 05. 2013 16:12

tu najdete riesenie poslednej ulohy pred pradzninamy
http://mathcentral.uregina.ca/mp/previo … r13sol.php

Cela site je velmi poucna... zatial som na fore nemal ziadne echo co sa jej tyka.

vanok · 17. 05. 2013 13:41

Tu som dal jedno zabavne cvicenie tykajuce sa kruhovej inverzii.

vanok · 24. 07. 2013 13:43

O tejto dedinicii

$\exp(z):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ kde $z\in \mathbb{C}$

exponencialnej funkcii, sa uz viac krat hovorilo na tomto fore.

Napriklad, aj tu

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=63879&p=1

kde som pripomenul, ze prologe Rudin-ovej knihy

http://www.amazon.com/gp/search?index=b … 070542341.

dokaze jej najdolezitejsie vlasnosti ( na troch stranach!), ako aj, ze

existuje najmensie nenulove pozitivne cislo $\pi$ take, ze $e^{\frac {\pi i}2}=i$ a ze take $e^z=1$ len a len ked $\frac z{2 \pi i}$ je cele relativne cislo.

vanok · 11. 09. 2013 16:05

Pozdravy vsetkym
Nasiel som (asi tazku ulohu z geometrie)
Je dana kruznica a v nej 5 vnutornych bodov.
Konstruhujte 5-uholnik (pripadne aj taky ze jeho strany sa mozu pretinat, ako napr. hviezda) taky ze vpisany do danej kruznice a kazdy z danych bodov lezi na jeho jednej strane.
Kolko je moznych rieseni?

vanok · 25. 09. 2013 12:54

Pekna vlasnost:
Nie je mozne pokryt rovinu disjunktivnymi kruznicami.
Ale:
Priestor moze byt pokryty disjunktivnymi kruznicami.

vanok · 30. 09. 2013 01:29

Tu som hovorit o identite od Sophie Germain.
Ak vas to zaujima skuste si o nej najst nieco na webe.

vanok · 05. 11. 2013 16:43

Urcite viete, ze pravidelny sedemuholnik ( heptagon) sa neda konstruhovat z kruzitkom a pravitkom.
Ale jeho konstrukcia je mozna vdaka origami.
Prekvapive ze... Hladajte tu konstrukciu na Webe.

vanok · 05. 11. 2013 21:31

Nasiel som jedno origami na heptagon
http://origami.oschene.com/cp/Heptagon% … Circle.pdf

No treba dokazat, ze je to dobre riesenie.

vanok · 19. 12. 2013 18:45 — Editoval vanok (19. 12. 2013 19:04)

V poslednom case tu bolo vela otazok na Laurent- ove rozvoje.
Bolo by uzitocne pred zacatanym riesenia takychto cviceni, si precitat a overit, ze aspon toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series
A pridavam aj niekolko vyriesenych cviceni
http://mathfaculty.fullerton.edu/mathew … dHome.html

Matematické Fórum

#126 12. 09. 2012 19:42

Re: najkrajsia teorema

#127 15. 09. 2012 12:24 — Editoval vanok (28. 04. 2015 18:56)

Re: najkrajsia teorema

#128 24. 09. 2012 14:22 — Editoval vanok (24. 09. 2012 14:25)

Re: najkrajsia teorema

#129 29. 09. 2012 18:02 — Editoval vanok (29. 09. 2012 18:05)

Re: najkrajsia teorema

#130 04. 10. 2012 11:50

Re: najkrajsia teorema

#131 07. 10. 2012 17:07 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:20)

Re: najkrajsia teorema

#132 30. 10. 2012 14:41 — Editoval vanok (01. 11. 2012 18:39)

Re: najkrajsia teorema

#133 16. 11. 2012 17:53 — Editoval vanok (16. 11. 2012 18:32)

Re: najkrajsia teorema

#134 10. 12. 2012 16:58

Re: najkrajsia teorema

#135 02. 01. 2013 13:53 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:55)

Re: najkrajsia teorema

#136 05. 02. 2013 08:21 — Editoval vanok (05. 02. 2013 08:24)

Re: najkrajsia teorema

#137 26. 02. 2013 16:43 — Editoval vanok (01. 03. 2013 03:21)

Re: najkrajsia teorema

#138 03. 03. 2013 13:27 — Editoval vanok (03. 03. 2013 13:29)

Re: najkrajsia teorema

#139 04. 04. 2013 20:31

Re: najkrajsia teorema

#140 14. 04. 2013 13:32

Re: najkrajsia teorema

#141 06. 05. 2013 16:08

Re: najkrajsia teorema

#142 06. 05. 2013 16:12

Re: najkrajsia teorema

#143 17. 05. 2013 13:41

Re: najkrajsia teorema

#144 24. 07. 2013 13:43

Re: najkrajsia teorema

#145 11. 09. 2013 16:05

Re: najkrajsia teorema

#146 25. 09. 2013 12:54

Re: najkrajsia teorema

#147 30. 09. 2013 01:29

Re: najkrajsia teorema

#148 05. 11. 2013 16:43

Re: najkrajsia teorema

#149 05. 11. 2013 21:31

Re: najkrajsia teorema

#150 19. 12. 2013 18:45 — Editoval vanok (19. 12. 2013 19:04)

Re: najkrajsia teorema

Zápatí