Matematické Fórum

kexixex · 18. 05. 2013 18:26

Ahoj, pocitam priklad: sectete radu $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{cos^{2}k\alpha }{k^{2}}$ pomoci Fourierova rozvoje fce $f(x)=\chi _{(-\alpha ,\alpha )}$ , $x\in (-\pi ,\pi )$ ( $\chi$ je indikator (-apfa,alfa))a Parsevalovy rovnosti...

moje reseni: definuji si lichou fci g:=sgn(x).f(x), g je licha,tedy Fourierovy koeficienty u cosinu $a_{k}$ jsou nulove,
spoctu koeficienty $\pi b_{k}=\int_{-\pi }^{\pi}g(x)sin(kx) dx=\int_{-\alpha}^{\alpha}sin(kx)dx=\frac{-1}{k}[coskx]^{\alpha}_{-\alpha}=\frac{-2cosk\alpha}{k}$

tj $b_{k}=\frac{-2cosk\alpha}{k\pi}$

Parsevalova rovnost teda dava $\sum_{k=1}^{\infty}b^{2}_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|g(x)|^{2}dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\alpha}1dx$

po dosazeni za $b_{k}$ mi vyslo
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{cos^{2}k\alpha }{k^{2}}=\frac{\alpha\pi}{2}$

ve vysledcich je uvedeno, ze ma suma vyjit $(\pi ^{2}-3\alpha\pi+3\alpha^{2})\frac{1}{6}$ . Nevite nekdo,jak se dostat k vysledku z vysledku? :) diky

Bati · 18. 05. 2013 18:40 — Editoval Bati (18. 05. 2013 18:45)

↑ kexixex:
Ahoj,
ten výpočet koeficientů se mi nezdá dobře, nějak ti tam vypadlo to signum - musí ti v tom integrálu vyjít sudá funkce. Tak jak to tam máš by to bylo přece nula ( $\cos{x}-\cos(-x)=0$ ).

A co se týče té druhé části, myslím, že jedna ze sum $\sum\frac{\sin^2{kx}}{k^2}$ , $\sum\frac{\cos^2{kx}}{k^2}$ vyjde hezky a ta druhá (kterou máš spočítat soudě podle toho ošklivého výsledku) se dá spočítat pomocí toho, že $\sin^2x+\cos^2x=1$ .