Matematické Fórum

check_drummer · 11. 07. 2013 13:48

Ahoj,
lze prostředky teorie množin (např. ZFC) ukázat, že existuje množina $x$ s vlastností $x = \{x\}$ ? Nebo obecněji (speciálněji): lze prostředky teorie množin ukázat, že existuje množina $x$ s vlastností $x \in x$ ?
Děkuji

Mihulik

Ahoj,
doufám, že dobře chápu dotaz, ale pokud se nepletu, tak "existenci" množiny $x$ takové, že $x\in x$ , zabraňuje axiom regularity, ne?:)

Pavel Brožek

Ahoj, já myslím, že naopak lze ukázat, že taková množina neexistuje. Předpokládejme, že existuje množina $x$ taková, že $x\in x$ . Podle axiomu dvojice je $\{x,\{x\}\}$ množina a je jistě neprázdná (obsahuje $x$ ). Podle axiomu fundovanosti

$(\forall a)(a\neq 0\rightarrow (\exists b)(b\in a\wedge b\cap a = 0))$

tedy

$(\exists b)(b\in \{x,\{x\}\}\wedge b\cap \{x,\{x\}\} = 0).$

Množina $\{x,\{x\}\}$ má maximálně dva různé prvky $x$ a $\{x\}$ . Pokud $b=x$ , pak $b\cap \{x,\{x\}\}=x\cap \{x,\{x\}\}$ . Ale $x$ patří jak do $x$ tak do $\{x,\{x\}\}$ , patří tedy i do průniku a průnik je tak neprázdná množina. Kdyby $b=\{x\}$ , tak $b\cap \{x,\{x\}\}=\{x\}\cap \{x,\{x\}\}$ . A opět, $x$ patří do obou množin v průniku, takže je průnik neprázdná množina. To je spor s axiomem fundovanosti.

Edit: Na wikipedii se o tom také píše.