Matematické Fórum

amateur · 18. 07. 2013 01:38

Stolár-kutil prosí pomazané hlavy o pomoc:
Potrebujem zistiť uhol štvorbokého dutého ihlana. V prílohe je nákres, ktorý zachytáva pohľad na "môj" ihlan a to zospodu ihlana (perspektívny pohľad je zložitý a zbytočný). Červenou čiarou je vyznačený ten nešťastný uhol (rez pílou), vyplnené časti predstavujú hrúbku steny (pre zistenie uhla nepodstatná).
Na obrázku ten uhol vypadá ako 90° (45°+45°) ale v skutočnosti je to menej a to v závislosti na uhle (sklone) prípadne výške ihlana.
Medzi týmito uhlami bude poletovať nejaký vzťah, alebo zákonitosť. Neudávam žiadne rozmery, ide mi len o ten nešťasný pomer.

Vopred ďakujem za Váš čas.

jelena · 18. 07. 2013 09:59

Zdravím a děkuji za upřesnění a za vlastní téma.

Ještě by to chtělo upřesnit - mám 2 strašné varianty - na obrázku jsou jen 2 boční stěny a kus červené základny:

a) stěny jehlanů přesahuji a schovají základnu (ta je jako taková zarovnaná zátka uvnitř stěn), rozměr jehlanu je tvořen jen bočními stěnami, základnu "oblepuji",

nebo

b) základna je také část jehlanu kosená a je vidět a na tu navazuji boční stěny, základnu je vidět.

Velmi doufám, že se spíš zapojí kolegové, komu to slunečno zas až tak nevadí a těší se letní pohodě :-) Kolegům děkuji.

Honzc · 18. 07. 2013 10:20 — Editoval Honzc (18. 07. 2013 11:23)

↑ amateur:
Zdravím,
Sice nevím, na co ti to bude (pro výrobu) dobré, ale pokud je podstava jehlanu čtverec, pak úhel mezi dvěma sousedními červenými površkami se vypočítá podle vztahu
(označíme-li délku hrany větší (spodní) podstavy $a_{1}$ , délku menší (horní "dutiny") podstavy $a_{2}$ , výšku komolého jehlanu $v$ a úhel mezi dvěma červenými sousedními površkami $\alpha$ )
$\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{a_{1}-a_{2}}{\sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+4v^{2}}}\Rightarrow \alpha =2arc\text{tg}\frac{a_{1}-a_{2}}{\sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+4v^{2}}}$
Poznámka:
V půdorysu se opravdu jeví úhel (pro čtvercovou podstavu) vždy jako 90°.
Předpokládám, že dutý jehlan vypadá takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokud ovšem jehlan vypadá tekto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pak $\text{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+4v^{2}}}\Rightarrow \alpha =2arc\text{tg}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+4v^{2}}}$
kde $a$ je délka hrany postavy a $v$ je výška celého jehlanu.

Poznámka 2.
Pro výrobu by mě asi víc zajímala odchylka roviny podstavy od roviny boční stěny.
Pokud ti jde o seříznutí (např. na stolní nebo formátovací pile s naklápěcím kotoučem) pak úhel nastavení úhlu roviny pilového kotouče od roviny stolu by se spočítal dle vztahu
$\text{tg}\alpha =\frac{v}{a_{1}-a_{2}}\Rightarrow \alpha =arc\text{tg}\frac{v}{a_{1}-a_{2}}$

amateur · 18. 07. 2013 13:02

↑ jelena:
Pohľad na ihlan je zospodu - obrátený vrcholom nadol.
Predstavte si hradnú vežu, ktorú zdvihol žeriav, Vy stojíte pod ňou a dívate sa zospodu. Asi takto by sa Vám javila.

amateur · 18. 07. 2013 13:14

↑ Honzc:

Ihlan vypadá tak, ako uvádzate v prvom prípade.
S výpočtom možno máte pravdu, no takto komplikovane prísť k výsledku mi dosť "nevonia".
Predstavte si strých majstrov, ktorí zostrojili ohromujúce stavby a pochybujem, že riešili problematiku komplikovanými vzorcami.
Odchýlka roviny podstavy od roviny bočnej steny je jednoduchá záležitosť. Vždy narábam s rovnoramenným trojuholníkom a tam platí jednoduchý súčet uhlov.
Na čo som prišiel, je to, že medzi sklonom ihlanu a mojim "zlatým rezom" existuje (možno) úmerný vsťah.

jelena · 18. 07. 2013 16:00

Predstavte si hradnú vežu, ktorú zdvihol žeriav, Vy stojíte pod ňou a dívate sa zospodu. Asi takto by sa Vám javila.

:-) představuji, včera jsem v podhradí sbírala rybíz.

Když se dívám směrem, jak jste popsal, tak vidím projekci (průmět) společné hrany do vodorovné roviny nad sebou, proto se to jeví jako 45 stupňů - na mém obrázku je to XD.

Ve skutečnosti potřebujete odchylku rovin ODS a DCS a ta vznikne jinak - na nákresu je výš, než projekce do vodorovné roviny podstavy (abych pravdu řekla, přesně nevím, zda tuto odchylku nepopisuje kolega ↑ Honzc: v 1. části výpočtu, kolegu zdravím).

Na čo som prišiel, je to, že medzi sklonom ihlanu a mojim "zlatým rezom" existuje (možno) úmerný vsťah.

Nevím, jak ten výpočet byl u starých mistrů. Mně se jeví dobré uvažovat celý objem jehlanu, který rozdělím na 4 díly (jeden díl je ODCS), obsah podstavy každého dílu znám, mohu vypočíst výšku dílu. To potřebuji, abych mohla zapracovat tloušťku desky.

Budu uvažovat stejnolehlost se středem v bode O, proto jsem díl otočila. A pokud se dokopu, tak se pokusím dokončit použitím stejnolehlosti, ale neslibuji.

amateur · 18. 07. 2013 21:39

Tak som sa systémom pokus-omyl, pokus-omyl, dopracoval k nejakému prototypu

Pílil som 30° sklon z každej strany steny a pri 36° skosení bokov to začalo nadobúdať akú-takú presnosť.

Ďalej som zistil, že priľahlé boky medzi sebou nezvierajú pravý uhol, aj keď na pohľad to tak vypadá. Vložená kocka to dokazuje.

Možno sa ešte pokúsim niečo namodelovať cez AUTOCAD, uvidím či tam nájdem nejaký vzťah.

jelena · 18. 07. 2013 22:50 — Editoval jelena (20. 07. 2013 19:17)

↑ amateur:

děkuji, hezké. Já jsem si představovala, že se mi podaří na desku nakreslit nad sebou 2 podobné trojúhelníky - jeden velký rovnoramenný, která vidíme zvenku jako boční stěnu, druhý malý, která vidíme zevnitř. Tedy tak, aby nebylo třeba počítat úhel a rovnou by se řezalo.

Samotný výpočet zde na fóru již byl např, podrobně v tomto tématu, zde je odvození (jen potřebujete polovinu úhlu), nebo zde i s názvem takového úhlu (určitě i více se najde). Ale já jsem rozuměla, že nechcete odvození přes goniometrické funkce. Ale k těm goniometrickým funkcím se vždy dostanu.

EDIT (sobota, nevím přesně kolikátého): zapomněla jsem poznamenat možnost využití analytické geometrie, sestavení rovnic rovin jednotlivých stěn a podstavy při vhodném umístění souřadnic by nebylo náročnou (můžeme rovnou v úsekovém tvaru), potom vzorec pro odchylku rovin.

Ovšem opět to neřeší praktickou stránku - představuji si, že z jednoho prkna nebudu zhotovovat jednotlivé trojúhelníky, ale prkno nařežu na polotovary (pravě "obrácené trojúhelníky" k sobě). Jinak modelovat se dá pohodlně pomocí krabiček (např. horní kryty krabiček od zápalek jdou snadno stlačit na požadované úhly a tloušťky desek). Samozřejmě bych mohla poprosit Hodnou dceru, ať vymodeluje v Rhinu:-)

Honzc · 23. 07. 2013 10:57 — Editoval Honzc (25. 07. 2013 19:46)

↑ amateur:
Jestli to dobře chápu pak by to co chceš mělo vypadat nějak takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Poznámka k tvému obrázku:
Těch 36° určitě nemůže být dobře. Ten úhel musí být vždy větší než 45°, z těchto důvodů:
1. horní "podstavu" tvoří obrácený pravidelný čtyřboký jehlan.
2. takový jehlan musí mít u vrcholu jednotlivých stěn úhel menší než 90°. (pro 90° se dostaneš do roviny a "jehlan" bude mít nulovou výšku)
3. protože každá stěna je tvořena z rovnoramenných trojúhelníků, (úhly mezi bočními hranami a hranou základny každé stěny jsou stejné) je jasné, že musí být větší než 45° ((180°-90°)/2=45°)
Tedy jaké platí vztahy.
Chceme udělat takový "dutý" jehlan, když známe:
$v$ , výška celého jehlanu
$t$ , tloušťka stěny jehlanu měřená kolmo na stěnu
$\alpha$ , sklon boční stěny.
Podle obrázku máme:
$\text{tg}\alpha_{1} =\sqrt{1+\text{tg}^{2}\alpha }$
$v'=v-t\cdot \cos \alpha$
$x=\frac{t}{\sin \alpha }$
$a'=\frac{2v'}{\text{tg}\alpha }=\frac{2(v-t\cdot \cos \alpha)}{\text{tg}\alpha }$
$a=a'+2\cdot x$
$\text{tg}\alpha _{2}=\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{x}{t}$

A teď něco k tomu jak si myslím, že to dělali staří mistři.
Ty nějaké úhly vůbec nezajímali.
Podle mě vyšli třeba z pythagorejského trojúhelníka $5,12,13$ (ten dává $\alpha \approx 67.380135^\circ$ ), ale to je vůbec nijak netankovalo.
Důležité je toto: $\sin \alpha =\frac{12}{13},\cos \alpha =\frac{5}{13},\text{tg}\alpha =\frac{12}{5}$
Když v takové stavbě dělali tloušťku stěny $t=\frac{v}{5}$ pak nemuseli vytvářet žádné úhly a ještě jim výška $v$ vyšla stejná jako přepona toho trojúhelníku 5,12,13 tedy 13.
Takže pro věž $v=13$ to udělali takto:
Břevny ohraničili čtverec o venkovní straně 10.
Uprostřed vztyčili hranol (kůl) o délce 13 a ve výšce 12 si udělali značku.
Z každého rohu pak do výše značky položili břevno (tím dostali ten "vnitřní" jehlan)
(Ještě mohli z každého středu hrany základny postavit břevna dlouhá 13 (k té značce))
Pak to postupně pobíjeli prkny a stavěli na to stěny (v kolmém směru) tlusté 13/5=2.6
Pokud chtěli jinou výšku všechy míry vynásobili poměrem $\frac{v_{nova}}{13}$
Dobré jsou i p.t. 3,4,5 a 7,24,25

Alert · 13. 02. 2016 15:19

↑ Honzc:

ahoj, pls, aky je vztah uhlov $\alpha$ a $\alpha$ 1? Mam uhom $\alpha$ 1=87 $^\circ$ a potrebujem vypocitat uhol $\alpha$ , teda sklon steny. vdaka

Honzc · 13. 02. 2016 16:17

↑ Alert:
Mas to v mem prispevku
$\text{tg}\alpha_{1} =\sqrt{1+\text{tg}^{2}\alpha }$

Matematické Fórum

#1 18. 07. 2013 01:38

Výpočet uhla ihlanu

#2 18. 07. 2013 09:59

Re: Výpočet uhla ihlanu

#3 18. 07. 2013 10:20 — Editoval Honzc (18. 07. 2013 11:23)

Re: Výpočet uhla ihlanu

#4 18. 07. 2013 13:02

Re: Výpočet uhla ihlanu

#5 18. 07. 2013 13:14

Re: Výpočet uhla ihlanu

#6 18. 07. 2013 16:00

Re: Výpočet uhla ihlanu

#7 18. 07. 2013 21:39

Re: Výpočet uhla ihlanu

#8 18. 07. 2013 22:50 — Editoval jelena (20. 07. 2013 19:17)

Re: Výpočet uhla ihlanu

#9 23. 07. 2013 10:57 — Editoval Honzc (25. 07. 2013 19:46)

Re: Výpočet uhla ihlanu

#10 13. 02. 2016 15:19

Re: Výpočet uhla ihlanu

#11 13. 02. 2016 16:17

Re: Výpočet uhla ihlanu

Zápatí