Matematické Fórum

stereo-total-music

Zdravím,
kalkulačky prý využívají Taylorův polynom k numerickým výpočtům. Aproximaci tak můžou spočítat sčítáním, což pro ně není problém. Zajímalo by mě, jak to dělají, když počítají:
$\log_{a}x,\mathrm{a}^{x}; a\neq e$
V derivacích se pak objevuje:
$\ln a$
což jde zase jenom numericky. Takže v tom Taylorovi počítají ještě jeden Taylor ln(a)?

mák · 09. 11. 2013 13:26

Zdravím,
nejspíš takto:
$a^{x}=\mathrm{e}^{x\cdot \ln (a)}$

mák · 09. 11. 2013 13:34

A ještě:
$\log_{a}(x)=\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$

No a Taylora $\ln (x)$ určitě počítají, ale podle mě pouze určitém malém rozsahu, kde rychle konverguje a do toho rozmezí si jej posunou (přepočtem).

stereo-total-music

↑ mák:
↑ mák:
Zdravím,
v derivacích těch výrazů je ale pořád ln(a). Mě zajímá, jak zjistí právě tu hodnotu ln(a).

No a Taylora $\ln (x)$ určitě počítají, ale podle mě pouze určitém malém rozsahu, kde rychle konverguje a do toho rozmezí si jej posunou (přepočtem).

Derivace přirozeného logaritmu jsou (1/x) a tak dále, což právě kalkulačky umí (včetně funkční hodnoty) vypočítat přesně (pro x0=1) součtem.

Otázka 2:
Teď ani nevím, jak kalkulačky počítají podíl, jestli to jde přepsat na součet, nebo jak?

mák · 09. 11. 2013 14:57

Kalkulačky umí nejenom dělit, ale i násobit.

mák · 09. 11. 2013 15:11

Už ti rozumím,
oni nepočítají Taylora z $\ln (a)$ ale z $\ln ((a+1)/(1-a))$ , nebo něco podobného...

Jinak kalkulačku si můžeš představit jako zjednodušený matematický koprocesor. Je to stejné.

Creatives · 09. 11. 2013 17:04

Mrkni Zde

stereo-total-music

Ok, takže to aproximují. Ona asi jiná možnost není, když se na tím zamyslím :D.

oni nepočítají Taylora z $\ln (a)$ ale z $\ln ((a+1)/(1-a))$ , nebo něco podobného...

Proč zase? Vždyť ten zápis je odlišný od zápisu ln(a).

mák · 10. 11. 2013 10:29

Protože z $\ln (a)$ nelze počítat aproximaci, takže si pomůžou berličkou $\ln (1+a)$ , která velmi dobře konverguje pro hodnoty $a$ okolo 1 (včetně).
Taylorů rozvoj je $x-{{x^2}\over{2}}+{{x^3}\over{3}}-{{x^4}\over{4}}+{{x^5}\over{5}}- {{x^6}\over{6}}+{{x^7}\over{7}}-{{x^8}\over{8}}+{{x^9}\over{9}}-{{x ^{10}}\over{10}}+\cdots$ pro prvních deset členů.
Může se použít $\ln (\frac{1+a}{1-a})$ , která konverguje podstatně rychleji (s menším počtem kroků).
Taylorů rozvoj je: $2\,x+{{2\,x^3}\over{3}}+{{2\,x^5}\over{5}}+{{2\,x^7}\over{7}}+{{2\, x^9}\over{9}}+{{2\,x^{11}}\over{11}}+{{2\,x^{13}}\over{13}}+{{2\,x^{ 15}}\over{15}}+{{2\,x^{17}}\over{17}}+{{2\,x^{19}}\over{19}}+\cdots$

stereo-total-music · 10. 11. 2013 11:42

↑ mák:
Proč nejde z ln(a) spočítat aproximaci?
$T_{n}=ln(x_{0})+\frac{1}{x_{0}}(a-x_{0})-\frac{1}{2x_{0}^{2}}(a-x_{0})^{2}\ldots$

mák · 10. 11. 2013 11:58

No protože tam vyjde $\ln (x_{0})$ a protože logaritmus chceme vypočítat (a abychom se nedostali do nekonečné smyčky), tak se za za $x_{0}$ volí 1 a tím se počítá aproximace z $\ln (1+x)$ a vypadne tento člen $\ln (x_{0})$ .

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2013 12:56 — Editoval stereo-total-music (09. 11. 2013 12:59)

Jak chytré jsou kalkulačky

#2 09. 11. 2013 13:26

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#3 09. 11. 2013 13:34

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#4 09. 11. 2013 14:13 — Editoval stereo-total-music (09. 11. 2013 14:23)

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#5 09. 11. 2013 14:57

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#6 09. 11. 2013 15:11

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#7 09. 11. 2013 17:04

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#8 09. 11. 2013 22:08 — Editoval stereo-total-music (09. 11. 2013 22:25)

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#9 10. 11. 2013 10:29

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#10 10. 11. 2013 11:42

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

#11 10. 11. 2013 11:58

Re: Jak chytré jsou kalkulačky

Zápatí