Matematické Fórum

mountdoom · 24. 11. 2013 19:43

Zdravím,

povedlo se mi naimplementovat funkci arkus sinus pomocí Taylorovy řady. Při testování jsem zjistil, že konvergence pro vyšší čísla je velmi pomalá a výsledek je nepřesný. Pak jsem narazil na toto téma. Tak jsem to podle toho spravil a všechno funguje jak má. Zajímalo by mě, jak je to možné, že arcsin po převedení na arccos konverguje rychleji?

Děkuji

mountdoom

Honzc · 25. 11. 2013 08:14 — Editoval Honzc (25. 11. 2013 08:18)

↑ mountdoom:
To je přeci jasné.
$\text{arcsin} x=x+\frac{1}{2}\frac{x^{3}}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^{5}}{5}+...$
Protože pro $x\in (0,\frac{1}{2})$ se každá jeho mocnina vždy rychleji blíží nule než pro $x\in (\frac{1}{2},1)$ (tedy např. $\left( \frac{1}{4} \right)^{3}=\frac{1}{64}<\left( \frac{3}{4} \right)^{3}=\frac{27}{64}$ ) a proto i arkussinus rychleji konverguje.
Protože platí
1. $\text{arcsin}x=\frac{\pi }{2}-\text{arccos}x$
a
2. $\text{arccos}x=\text{arcsin}\sqrt{1-x^{2}}$
pak označíš-li si $y=\text{arcsin}x=x+\frac{1}{2}\frac{x^{3}}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^{5}}{5}+...$ dostaneš $y=\frac{\pi }{2}-(\sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{1-x^{2}})^{3}}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{(\sqrt{1-x^{2}})^{5}}{5}+...$
přičemž $\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\approx \frac{2.65}{4}<\frac{3}{4}$ a tedy Taylorova řada bude opět konvergovat rychleji.

ovoce · 21. 07. 2022 09:40

Dobrý den, řeším problém potřebuju radu v EXELU je funkce =ARCSIN(číslo). Potřebuji ten to vzorec napsat do programu, který tuto funkci neumí vypočítat neví někdo jak na to děkuji za odpověď.

mák · 21. 07. 2022 15:35

Příště si založ nové téma.

Myslíš jako si nadefinovat novou funkci, kterou VBA Excelu neobsahuje, pomocí již obsažených funkcí jako makro?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2013 19:43

Jak funguje arcsin (arccos)

#2 25. 11. 2013 08:14 — Editoval Honzc (25. 11. 2013 08:18)

Re: Jak funguje arcsin (arccos)

#3 21. 07. 2022 09:40

Re: Jak funguje arcsin (arccos)

#4 21. 07. 2022 15:35

Re: Jak funguje arcsin (arccos)

Code:

Zápatí