Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 01. 2014 21:30

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Integrál - nalezení chyby

Ahoj, prosím Vás, kde dělám chybu:

$\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}=$
$t=\cos(x)$
$dx=-\frac{dt}{sin(x)}$
$\int_{}^{}\frac{dt}{(1-t)(-\sin(x))}=-\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{dt}{1-t}=\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{-dt}{1-t}$
$\int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|f(x)|+C$
$\frac{1}{sin(x)}\int_{}^{}\frac{-dt}{1-t}=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-t|+C=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-\cos(x)|+C$


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Meglun)

#2 02. 01. 2014 21:55

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Ahoj ↑ Meglun:,
skús substitúciu $t=1-\cos x$
$\sin x dx=dt$


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#3 02. 01. 2014 22:05

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Integrál - nalezení chyby

↑ Arabela:
Možná dělám něco špatně, ale vyšlo mi to samé


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

 

#4 02. 01. 2014 22:15 — Editoval Meglun (02. 01. 2014 22:16)

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Integrál - nalezení chyby

$\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}=$
$t=1-\cos(x)$
$dx=\frac{dt}{sin(x)}$
$\int_{}^{}\frac{dt}{\sin(x)t}=\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\sin(x)}\ln|t|+C=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-\cos(x)|+C$


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

 

#5 02. 01. 2014 22:19 — Editoval Arabela (02. 01. 2014 22:20)

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Integrál - nalezení chyby

↑ Meglun:
metóda substitúcie sa teda v tomto prípade neosvedčila...
Čo skúsiť goniom. vzorce?
Platí
$|\sin \frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$,
$1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2}$.
Skús dosadiť  a použiť substitúciu $\frac{x}{2}=t$
Výsledok by mal vyjsť $-\text{cotg}\frac{x}{2}+c$


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#6 02. 01. 2014 22:44

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Integrál - nalezení chyby

↑ Arabela:
Děkuji, jen by mě zajímalo, proč nefunguje substituce. Když se postupuje matematicky správně.


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

 

#7 02. 01. 2014 22:51

kaja.marik
Veterán
Příspěvky: 1915
Reputace:   57 
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Meglun napsal(a):

↑ Arabela:
Děkuji, jen by mě zajímalo, proč nefunguje substituce. Když se postupuje matematicky správně.

Alek kdepak, nein to spravne. Je to mismas, od integralu funkce jedne promenne x prejdete k integralu se dvema promennymi (x a t), potom se sin(x)  vytahne ven jako kdyby to byla konstanta, ale ona to konstanta neni. Proste to je hokej s pisemnky podle podivnych pravidel.

Offline

 

#8 02. 01. 2014 23:24

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Ahoj ↑ Meglun:,
čo sa týka metódy substitúcie, tá sa hodí iba niekedy... Po dosadení premennej za substituovaný výraz a za diferenciál novej premennej sa už "stará" premenná v substituovanom výraze nesmie nachádzať. Pokiaľ  hrozí, že sa zvolenou substitúciou nezbavíme "starej" premennej, substitúcia nie je "namieste". Kolega kaja.marik má pravdu, keď Ti to vytkol...


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#9 03. 01. 2014 00:11

kaja.marik
Veterán
Příspěvky: 1915
Reputace:   57 
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Čistě pro budoucí generace: pokud chci v integrálu $\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}$ substituci $t=\cos(x)$ tak můžu psát třeba $x=\arccos(t)$ a $dx=-\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$. Po dossazení $-\int \frac{dt}{(1-t)\sqrt{1-t^2}}$ a vidím, že jsem si integrál spíš zkomplikoval.

Offline

 

#10 03. 01. 2014 13:20

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Zdravím v tématu,

↑ kaja.marik:

pokud budoucí generace nařídí, že bude substituce za goniometrickou funkci, tak můžeme rozšířit $1+\cos(x)$ a po rozdělení na 2 zlomky nějakou tu substituci najdeme - co bychom pro generace neudělali :-)

↑ Meglun: 

ověřuješ své kroky pomocí online nástrojů úvodního tématu? Děkuji

Offline

 

#11 03. 01. 2014 13:51

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Integrál - nalezení chyby

Ano, ale hledám v tabulkách, kde se vzala tato rovnost : $1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2}$,
krom online nástrojů jsem ji nenašel


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

 

#12 03. 01. 2014 15:59

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Integrál - nalezení chyby

↑ Meglun:
vo svojom príspevku som pred uvedeným vzorcom uviedla ten, ktorý je známejší... Jeho umocnením na druhú a prenásobením dvomi dostaneš "ten náš".


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#13 03. 01. 2014 16:17

Meglun
Příspěvky: 341
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Integrál - nalezení chyby

↑ Arabela:
Děkuji, této úpravy jsem si nevšiml


Společnost tě může připravit o všechno, ale to co máš v hlavě, ti nikdo neveme.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson