Matematické Fórum

Meglun · 02. 01. 2014 21:30

Ahoj, prosím Vás, kde dělám chybu:

$\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}=$
$t=\cos(x)$
$dx=-\frac{dt}{sin(x)}$
$\int_{}^{}\frac{dt}{(1-t)(-\sin(x))}=-\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{dt}{1-t}=\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{-dt}{1-t}$
$\int_{}^{}\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|f(x)|+C$
$\frac{1}{sin(x)}\int_{}^{}\frac{-dt}{1-t}=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-t|+C=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-\cos(x)|+C$

Arabela · 02. 01. 2014 21:55

Ahoj ↑ Meglun:,
skús substitúciu $t=1-\cos x$
$\sin x dx=dt$

Meglun · 02. 01. 2014 22:05

↑ Arabela:
Možná dělám něco špatně, ale vyšlo mi to samé

Meglun · 02. 01. 2014 22:15 — Editoval Meglun (02. 01. 2014 22:16)

$\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}=$
$t=1-\cos(x)$
$dx=\frac{dt}{sin(x)}$
$\int_{}^{}\frac{dt}{\sin(x)t}=\frac{1}{\sin(x)}\int_{}^{}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\sin(x)}\ln|t|+C=\frac{1}{\sin(x)}\ln|1-\cos(x)|+C$

Arabela

↑ Meglun:
metóda substitúcie sa teda v tomto prípade neosvedčila...
Čo skúsiť goniom. vzorce?
Platí
$|\sin \frac{x}{2}|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ ,
$1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2}$ .
Skús dosadiť a použiť substitúciu $\frac{x}{2}=t$
Výsledok by mal vyjsť $-\text{cotg}\frac{x}{2}+c$

Meglun · 02. 01. 2014 22:44

↑ Arabela:
Děkuji, jen by mě zajímalo, proč nefunguje substituce. Když se postupuje matematicky správně.

kaja.marik · 02. 01. 2014 22:51

Meglun napsal(a):
↑ Arabela:
Děkuji, jen by mě zajímalo, proč nefunguje substituce. Když se postupuje matematicky správně.

Alek kdepak, nein to spravne. Je to mismas, od integralu funkce jedne promenne x prejdete k integralu se dvema promennymi (x a t), potom se sin(x) vytahne ven jako kdyby to byla konstanta, ale ona to konstanta neni. Proste to je hokej s pisemnky podle podivnych pravidel.

Arabela · 02. 01. 2014 23:24

Ahoj ↑ Meglun:,
čo sa týka metódy substitúcie, tá sa hodí iba niekedy... Po dosadení premennej za substituovaný výraz a za diferenciál novej premennej sa už "stará" premenná v substituovanom výraze nesmie nachádzať. Pokiaľ hrozí, že sa zvolenou substitúciou nezbavíme "starej" premennej, substitúcia nie je "namieste". Kolega kaja.marik má pravdu, keď Ti to vytkol...

kaja.marik · 03. 01. 2014 00:11

Čistě pro budoucí generace: pokud chci v integrálu $\int_{}^{}\frac{dx}{1-\cos(x)}$ substituci $t=\cos(x)$ tak můžu psát třeba $x=\arccos(t)$ a $dx=-\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ . Po dossazení $-\int \frac{dt}{(1-t)\sqrt{1-t^2}}$ a vidím, že jsem si integrál spíš zkomplikoval.

jelena · 03. 01. 2014 13:20

Zdravím v tématu,

↑ kaja.marik:

pokud budoucí generace nařídí, že bude substituce za goniometrickou funkci, tak můžeme rozšířit $1+\cos(x)$ a po rozdělení na 2 zlomky nějakou tu substituci najdeme - co bychom pro generace neudělali :-)

↑ Meglun:

ověřuješ své kroky pomocí online nástrojů úvodního tématu? Děkuji

Meglun · 03. 01. 2014 13:51

Ano, ale hledám v tabulkách, kde se vzala tato rovnost : $1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2}$ ,
krom online nástrojů jsem ji nenašel

Arabela · 03. 01. 2014 15:59

↑ Meglun:
vo svojom príspevku som pred uvedeným vzorcom uviedla ten, ktorý je známejší... Jeho umocnením na druhú a prenásobením dvomi dostaneš "ten náš".

Meglun · 03. 01. 2014 16:17

↑ Arabela:
Děkuji, této úpravy jsem si nevšiml

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2014 21:30

Integrál - nalezení chyby

#2 02. 01. 2014 21:55

Re: Integrál - nalezení chyby

#3 02. 01. 2014 22:05

Re: Integrál - nalezení chyby

#4 02. 01. 2014 22:15 — Editoval Meglun (02. 01. 2014 22:16)

Re: Integrál - nalezení chyby

#5 02. 01. 2014 22:19 — Editoval Arabela (02. 01. 2014 22:20)

Re: Integrál - nalezení chyby

#6 02. 01. 2014 22:44

Re: Integrál - nalezení chyby

#7 02. 01. 2014 22:51

Re: Integrál - nalezení chyby

Meglun napsal(a):

#8 02. 01. 2014 23:24

Re: Integrál - nalezení chyby

#9 03. 01. 2014 00:11

Re: Integrál - nalezení chyby

#10 03. 01. 2014 13:20

Re: Integrál - nalezení chyby

#11 03. 01. 2014 13:51

Re: Integrál - nalezení chyby

#12 03. 01. 2014 15:59

Re: Integrál - nalezení chyby

#13 03. 01. 2014 16:17

Re: Integrál - nalezení chyby

Zápatí