Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
mám tu jednu větu, která charakterizuje subdirektně ireducibilní algebry.

Značení: značme $\iota$ nejmenší kongruenci algebry a $\omega$ největší.

Věta 2: Nechť je $\mathbf{A}$ algebra. Pak
$\mathbf{A}$ je subdirektně ireducibilní, právě když je triviální, nebo $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta >\iota$ (tj. právě když $\mathbf{Con}\:\mathbf{A}$ obsahuje právě jeden atom).

Můj problém: neumím dokázat implikaci $\Rightarrow$ .

Mám k dispozici tuhle větu:
Věta 1: Algebra $\mathbf{A}$ je izomorfní subdirektnímu součinu algeber $\mathbf{A}_i\;(i\in I)$ , právě když existují $\theta_i\in \mathrm{Con}\:\mathbf{A}\;(i\in I)$ tak, že platí $\bigwedge_{i\in I}\theta_i=\iota$ .
V tomto případě lze položit $\mathbf{A}_i=\mathbf{A}/\theta_i$ .

Díky za pomoc.

Edit: Věta 2 je následně použita k důkazu Birkhoffovy věty.

OiBobik

↑ Andrejka3:

(Ty se snad učíš na tutéž zkoušku, jako teď já... : D )

1) Tam má být $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta > \iota$ , ne?

2) Nechť tedy je $\mathbf{A}$ SD-irr. algebra, která není triviální (což nevím, co znamená, ale tak budu předpokládat, že to implikuje $\omega > \iota$ ). Uvažujme pro libovolnou sadu kongruencí na $\mathbf{A}$ $\alpha_i, i \in I$ homomorfismus $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \prod_{i \in I}\mathbf{A}/\alpha_i$ daný jako $a \mapsto ([a]_{\alpha_i})_{i\in I}$ . Pak $\varphi$ je prostý, právě když $\iota =\mathrm{Ker} \varphi=\bigcap_{i \in I}\alpha_i$ .

Nyní kdyby $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta = \iota$ ,
je takové $\varphi$ určené sadou všech oněch netriviálních kongruencí SD vnoření (a tedy $\prod_{\theta \neq \iota}\mathbf{A}/\theta$ SD rozklad $\mathbf{A}$ ) Přitom pro žádné $\theta$ není $\pi_{\theta}\circ \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}/\theta$ isomorfismus, jelikož jeho jádro je $\theta > \iota$ . Tedy $\mathbf{A}$ nebyla subdirektně ireducibilní.

Podobně se dá vykoukat i druhá implikace (za pomoci 1. věty o isomorfismu).

Andrejka3

↑ OiBobik:
Ahoj :)
1) Jo, máš pravdu, opravím to.
2) Ano, triviální algebru mi definovali jako jednoprvkovou. Takže tak.
Díky, moc krásná odpověď. Ještě to úplně nechápu, ale myslím, že mi to dojde, až nad tím pořádně popřemýšlím.
edit:

OiBobik napsal(a):
↑ Andrejka3:
Přitom pro žádné $\theta$ není $\pi_{\theta}\circ \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}/\theta$ isomorfismus, jelikož jeho jádro je $\theta > \iota$ . Tedy $\mathbf{A}$ nebyla subdirektně ireducibilní.

Podobně se dá vykoukat i druhá implikace (za pomoci 1. věty o isomorfismu).

Uvidím, zda mi to zvýrazněné neudělá potíž. Včera mě děsilo tohleto: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=69015

OiBobik

↑ Andrejka3:

To se tváří záhadně, ale je to jenom ten fakt, že člověk ví, jak ta složenína vypadá, a sice jako $a \mapsto [a]_\theta$ . Takhle když se to napíše, tak je to celkem jasný. : ))

Ale máš pravdu, souvisí to spolu: všimni si, že v definici SD-irr algebry není, že je při každém svém SD-rozkladu isomorfní některému z těch součinitelů, ale že ta konkrétní složenína pro některý ten součinitel je isomorfismus.

Andrejka3 · 07. 01. 2014 21:35

Jo, došlo mi to původní. Super! Bohužel, zítra už mám zk, takže toho už moc nestihnu. Díky a hodně štěstí na Tvé zk.

Andrejka3

↑ OiBobik:
Takže definice z mých skript je špatně, že?
$\mathbf{A}$ SD-irr, právě když: je-li $\mathbf{A}$ izomorfni SD algeber $\mathbf{A}_i,\: (i\in I)$ , pak existuje $i_0 \in I$ tak, ze $\mathbf{A}\cong \mathbf{A}_{i_0}$ .

OiBobik

↑ Andrejka3:

Nevím, jestli špatně.

Já to znám jinak a podporujíe to například tato učebnice (strana cca 57).

Myslím, že to ve výsledku je jedno, ale tady se hodí ta "moje definice": Když se ukáže Birkhoffova věta (tj. o rozkladu do nějaké množiny SD-irr algeber) pro tu "moji definici", tak pak SD irr algebra "podle tvé definice" bude mít SD irr rozklad, kde ty komponenty budou SD irr "podle mé definice". Pak podle tvé definice je jedné z nich ta uvažovaná SD irr algebra isomorfní, což ve výsledku znamená, že musí být taky SD irr "podle mé definice", neboť ta je invariantní vůči isomorfismu (jako asi jakákoli kategoriální definice...)

Andrejka3 · 07. 01. 2014 22:17

↑ OiBobik:
Děkuju.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2014 13:32 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:12)

Subdirektně irreducibilní algebra

#2 07. 01. 2014 20:42 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 22:46)

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

#3 07. 01. 2014 21:11 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:17)

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

OiBobik napsal(a):

#4 07. 01. 2014 21:28 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 21:29)

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

#5 07. 01. 2014 21:35

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

#6 07. 01. 2014 21:53 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:54)

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

#7 07. 01. 2014 22:05 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 23:24)

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

#8 07. 01. 2014 22:17

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

Zápatí