Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 01. 2014 13:32 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:12)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Subdirektně irreducibilní algebra

Ahoj,
mám tu jednu větu, která charakterizuje subdirektně ireducibilní algebry.

Značení: značme $\iota$ nejmenší kongruenci algebry a $\omega$ největší.

Věta 2: Nechť je $\mathbf{A}$ algebra. Pak
$\mathbf{A}$ je subdirektně ireducibilní, právě když je triviální, nebo $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta >\iota$ (tj. právě když $\mathbf{Con}\:\mathbf{A}$ obsahuje právě jeden atom).

Můj problém: neumím dokázat implikaci $\Rightarrow$.

Mám k dispozici tuhle větu:
Věta 1: Algebra $\mathbf{A}$ je izomorfní subdirektnímu součinu algeber $\mathbf{A}_i\;(i\in I)$, právě když existují $\theta_i\in \mathrm{Con}\:\mathbf{A}\;(i\in I)$ tak, že platí $\bigwedge_{i\in I}\theta_i=\iota$.
V tomto případě lze položit $\mathbf{A}_i=\mathbf{A}/\theta_i$.

Díky za pomoc.

Edit: Věta 2 je následně použita k důkazu Birkhoffovy věty.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

#2 07. 01. 2014 20:42 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 22:46)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ Andrejka3:

(Ty se snad učíš na tutéž zkoušku, jako teď já... : D )

1) Tam má být $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta > \iota$, ne?

2) Nechť tedy je $\mathbf{A}$  SD-irr. algebra, která není triviální (což nevím, co znamená, ale tak budu předpokládat, že to implikuje $\omega > \iota$). Uvažujme pro libovolnou sadu kongruencí na $\mathbf{A}$ $\alpha_i, i \in I$ homomorfismus $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \prod_{i \in I}\mathbf{A}/\alpha_i$ daný jako $a \mapsto ([a]_{\alpha_i})_{i\in I}$. Pak $\varphi$ je prostý, právě když $\iota =\mathrm{Ker} \varphi=\bigcap_{i \in I}\alpha_i$.

Nyní kdyby $\bigwedge_{\substack{\theta\in \mathrm{Con}\mathbf{A}\\ \theta\neq \iota}}\theta = \iota$,
je takové $\varphi$ určené sadou všech oněch netriviálních kongruencí SD vnoření (a tedy $\prod_{\theta \neq \iota}\mathbf{A}/\theta$ SD rozklad $\mathbf{A}$) Přitom pro žádné $\theta$ není $\pi_{\theta}\circ \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}/\theta$ isomorfismus, jelikož jeho jádro je $\theta > \iota$. Tedy $\mathbf{A}$ nebyla subdirektně ireducibilní.

Podobně se dá vykoukat i druhá implikace (za pomoci 1. věty o isomorfismu).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 07. 01. 2014 21:11 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:17)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ OiBobik:
Ahoj :)
1) Jo, máš pravdu, opravím to.
2) Ano, triviální algebru mi definovali jako jednoprvkovou. Takže tak.
Díky, moc krásná odpověď. Ještě to úplně nechápu, ale myslím, že mi to dojde, až nad tím pořádně popřemýšlím.
edit:

OiBobik napsal(a):

↑ Andrejka3:
Přitom pro žádné $\theta$ není $\pi_{\theta}\circ \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}/\theta$ isomorfismus, jelikož jeho jádro je $\theta > \iota$. Tedy $\mathbf{A}$ nebyla subdirektně ireducibilní.

Podobně se dá vykoukat i druhá implikace (za pomoci 1. věty o isomorfismu).

Uvidím, zda mi to zvýrazněné neudělá potíž. Včera mě děsilo tohleto: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=69015


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 07. 01. 2014 21:28 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 21:29)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ Andrejka3:

To se tváří záhadně, ale je to jenom ten fakt, že člověk ví, jak ta složenína vypadá, a sice jako $a \mapsto [a]_\theta$. Takhle když se to napíše, tak je to celkem jasný. : ))

Ale máš pravdu, souvisí to spolu: všimni si, že v definici SD-irr algebry není, že je při každém svém SD-rozkladu isomorfní některému z těch součinitelů, ale že ta konkrétní složenína pro některý ten součinitel je isomorfismus.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#5 07. 01. 2014 21:35

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

Jo, došlo mi to původní. Super! Bohužel, zítra už mám zk, takže toho už moc nestihnu. Díky a hodně štěstí na Tvé zk.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#6 07. 01. 2014 21:53 — Editoval Andrejka3 (07. 01. 2014 21:54)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ OiBobik:
Takže definice z mých skript je špatně, že?
$\mathbf{A}$ SD-irr, právě když: je-li $\mathbf{A}$ izomorfni SD algeber $\mathbf{A}_i,\: (i\in I)$, pak existuje $i_0 \in I$ tak, ze $\mathbf{A}\cong \mathbf{A}_{i_0}$.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 07. 01. 2014 22:05 — Editoval OiBobik (07. 01. 2014 23:24)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ Andrejka3:

Nevím, jestli špatně.

Já to znám jinak a podporujíe to například tato učebnice (strana cca 57).

Myslím, že to ve výsledku je jedno, ale tady se hodí ta "moje definice": Když se ukáže Birkhoffova věta (tj. o rozkladu do nějaké množiny SD-irr algeber) pro tu "moji definici", tak pak SD irr algebra "podle tvé definice" bude mít SD irr rozklad, kde ty komponenty budou SD irr "podle mé definice". Pak podle tvé definice je jedné z nich ta uvažovaná SD irr algebra isomorfní, což ve výsledku znamená, že musí být taky SD irr "podle mé definice", neboť ta je invariantní vůči isomorfismu (jako asi jakákoli kategoriální definice...)


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#8 07. 01. 2014 22:17

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Subdirektně irreducibilní algebra

↑ OiBobik:
Děkuju.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson