Matematické Fórum

bonifax

Ahoj, chtěl poprosit o pomoc, jak pokračovat v tomto postupu? Po umocnění na druhou mi zbyly dva členy, takže jsem se posunul jen o kousek nepatrně /.)
Předem díky.
dodatek: Pomocí převodu na gonio. tvar to mám již vyřešené, tak bych rád tento postup.

Řešte bez kalkulačky!
Reálná část komplexního čísla $z=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{33}$ je rovna

a) 1 b) -1 c) 0 d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{33}=[(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^2]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}=$
$[\frac{3}{4}+\frac{2\sqrt{3}i}{4}+\frac{1}{4}i^2]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}=[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}$

vanok · 15. 04. 2014 22:13

Ahoj ↑ bonifax:,
Ako prve vyjadri z v goniometrickom zapise ( cize z cos a sin)

bonifax · 15. 04. 2014 22:15

ahoj ↑ vanok:

přecti si dodatek, pomocí tohoto postupu to již mám vyřešené ale !)

vanok · 15. 04. 2014 22:31

Tvoj postup je priliz dlhy aby si prisiez k vysledku v rozumnom case.
Metoda co som ti navrhol, ak ovladas tvoje vzorce je maximum 5 minut prace!

bonifax

↑ vanok:

tento postup jsem již použil a šlo to v pohodě. Je to postup, který používá zdenek1 na svým webu:
http://materialy.rubesz.cz/prijimaci_zkousky/vse-11-a0/
- PRIKLAD Č. 14.
Většinou po umocnění na druhou zbyl pouze jeden člen s imaginární složkou, takže to šlo vpohodě pak dořešit.

Co se týká převodu, tak to není problém, ale chtěl bych znát tento postup, který mám již rozpočítaný.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy · 15. 04. 2014 22:59 — Editoval Freedy (15. 04. 2014 23:19)

Ahoj,
to co zde na fóru občas předvádí zdeněk ale funguje pouze za předpokladu že a = b.
$(a+ai)^2 = a^2+2a^2i+a^2i^2=2a^2i$
není to žádný univerzální postup, pouze elegantní. Zde navíc ani nemáš sudý exponent, takže je to zbytečně zdlouhavé dělat to přes čtverec, lepší je použít krychli:
$((\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^3)^{11}$
$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i} )^3=\frac{1}{8}(\sqrt{3}+i)^3=\frac{1}{8}(3\sqrt{3}+9i+3\sqrt{3}i^2+i^3)$
$\frac{1}{8}(3\sqrt{3}+9i+3\sqrt{3}i^2+i^3)=\frac{1}{8}(8i)=i$
$((\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i})^3)^{11}=(\text{i})^{11}=-\text{i}$

bonifax · 15. 04. 2014 23:16

↑ Freedy:

tyjoo moc pěkně díky, jen hele v druhým řádku nechybí ičko v první závorce ? Jak jsi 1/8 vyrval z tý závorky a hodil před závorku hned v prvním kroku M?

Freedy · 15. 04. 2014 23:21

Ahoj, nemusel jsem to dělat, ale nechtělo se mi všude psát zlomek s osminama :D
Je to jen normální vytýkání:
$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i})^3 = (\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\text{i}))^3=\frac{1}{2^3}(\sqrt{3}+\text{i})^3$

vanok · 15. 04. 2014 23:23 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:26)

↑ bonifax:,casto existuje viac metod.
Ako vidim, tu co som ti navrhol podla casu tvojho a mojho prispevku ti trvalo 16 min. to je trocha vela. Ale iste to dokazes zlepsit.
Vyhoda metody cis je ze ju mozes pouzit prakticky vzdy.
Tiez je to metoda co ti da okamzitu odpoved, ak by si chcel za kazdu cenu pracovat na algebrickej forme, ako to urobit co najekonomicky...
Akoze na kolegovu metodu mas dokumentaciu, tak ju mozes kludne pouzit.

Poznamka: ↑ bonifax: v tvojom vypocte si mohol najprv zjednodusit zlomok 33/6, a tiez pouzit périodu $2\pi$

A na koniec nemas ani konecny vysledok na danu otazku.odpoved je -1.

Freedy · 15. 04. 2014 23:27

vanok napsal(a):
Vyhoda metody cis je ze ju mozes pouzit prakticky vzdy.

To jistě ano, ale algebraická metoda zahrnuje daleko víc možností řešení, než goniometrická. Pokud se teda bavíme o počítání bez kalkulačky.

vanok · 15. 04. 2014 23:41 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:46)

↑ Freedy:,
To iste zavisi od ludi. Na cis, tiez nebolo treba pouzit nic ine ako zname vedomosti. A rychlost dvoch metod si sam porovnaj.
Ozaj tato mnemotechnika ti hovori nieco?
$0,\pi/6,\pi/4,\pi /3, \pi/2$
$0, 1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2,1$
zabavne a pre niehoho aj uzitocne! ( poznal si to)

Co sa tyka pocitania, bez kalkulacky, kde maju vyst pekne hodnoty sa pouzivaju skoro vzdy ( na strednej skole) len uhly ktorych ( alebo ich "nasobku") sin a cos sa da jednoducho vyjadrit.

bonifax

↑ Freedy:

jj aha jasny už :D , díky

↑ vanok:

vánku :D, já ale nesleduji nepřetržitě jenom tohle forum, proto nemůžu reagovat hned na každou odpověď. Chtěl jsem znát tenhle konkrétní postup, nikoli přes převod na gonio. tvar, který jsi mi navrhoval ty. To jsem uvedl i při založení topiku ;-)

Ten příklad jsem, ale nepočítal, mám ho již vyřešený, takže jsem ho jen přepisoval do texu. Výsledek je mi zřejmý z posl. tvaru, který jsem uvedl, určitě i tobě, tak nač uvádět výsledek.

i tak díky za odpovědi , Měj se.)

vanok · 15. 04. 2014 23:47

↑ bonifax:,
Ok, latex to nas brzdi, ze.
Tak dobre pokracovanie a vela uspechov.

Freedy · 16. 04. 2014 07:18

vanok:
samozřejmě si myslím že goniometrický tvar je na umocňování k.č. nejlepší (stejně tak exponenciální).
Mě šlo jen o to, že kdyby jsi měl například:
$(1+2i)^{8}$ tak už by se to goniometricky z hlavy řešit nedalo, ale algebraicky pořád ano.

vanok · 16. 04. 2014 11:01

Ahoj ↑ Freedy:
To mas pravdu.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2014 22:05 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 22:10)

komplexní čísla

#2 15. 04. 2014 22:13

Re: komplexní čísla

#3 15. 04. 2014 22:15

Re: komplexní čísla

#4 15. 04. 2014 22:31

Re: komplexní čísla

#5 15. 04. 2014 22:47 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 22:49)

Re: komplexní čísla

#6 15. 04. 2014 22:59 — Editoval Freedy (15. 04. 2014 23:19)

Re: komplexní čísla

#7 15. 04. 2014 23:16

Re: komplexní čísla

#8 15. 04. 2014 23:21

Re: komplexní čísla

#9 15. 04. 2014 23:23 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:26)

Re: komplexní čísla

#10 15. 04. 2014 23:27

Re: komplexní čísla

vanok napsal(a):

#11 15. 04. 2014 23:41 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:46)

Re: komplexní čísla

#12 15. 04. 2014 23:44 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 23:45)

Re: komplexní čísla

#13 15. 04. 2014 23:47

Re: komplexní čísla

#14 16. 04. 2014 07:18

Re: komplexní čísla

#15 16. 04. 2014 11:01

Re: komplexní čísla

Zápatí