Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 04. 2014 22:05 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 22:10)

bonifax
Příspěvky: 616
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   19 
 

komplexní čísla

Ahoj, chtěl poprosit o pomoc, jak pokračovat v tomto postupu? Po umocnění na druhou mi zbyly dva členy, takže jsem se posunul jen o kousek nepatrně /.)
Předem díky.
dodatek: Pomocí převodu na gonio. tvar to mám již vyřešené, tak bych rád tento postup.

Řešte bez kalkulačky!
Reálná část komplexního čísla $z=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{33}$ je rovna

a) 1 b) -1 c) 0 d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$




$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{33}=[(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^2]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}=$
$[\frac{3}{4}+\frac{2\sqrt{3}i}{4}+\frac{1}{4}i^2]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}=[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}]^{15}*(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^{3}$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) bonifax)

#2 15. 04. 2014 22:13

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

Ahoj ↑ bonifax:,
Ako prve vyjadri z v goniometrickom zapise ( cize z cos a sin)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 15. 04. 2014 22:15

bonifax
Příspěvky: 616
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: komplexní čísla

ahoj ↑ vanok:

přecti si dodatek, pomocí tohoto postupu to již mám vyřešené ale !)

Offline

 

#4 15. 04. 2014 22:31

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

Tvoj postup je priliz dlhy aby si prisiez k vysledku v rozumnom case.
Metoda co som ti navrhol, ak ovladas tvoje vzorce je maximum 5 minut prace!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 15. 04. 2014 22:47 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 22:49)

bonifax
Příspěvky: 616
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: komplexní čísla

↑ vanok:

tento postup jsem již použil a šlo to v pohodě. Je to postup, který používá zdenek1 na svým webu:
http://materialy.rubesz.cz/prijimaci_zkousky/vse-11-a0/
- PRIKLAD Č. 14.
Většinou po umocnění na druhou zbyl pouze jeden člen s imaginární složkou, takže to šlo vpohodě pak dořešit.

Co se týká převodu, tak to není problém, ale chtěl bych znát tento postup, který mám již rozpočítaný.

Offline

 

#6 15. 04. 2014 22:59 — Editoval Freedy (15. 04. 2014 23:19)

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: komplexní čísla

Ahoj,
to co zde na fóru občas předvádí zdeněk ale funguje pouze za předpokladu že a = b.
$(a+ai)^2 = a^2+2a^2i+a^2i^2=2a^2i$
není to žádný univerzální postup, pouze elegantní. Zde navíc ani nemáš sudý exponent, takže je to zbytečně zdlouhavé dělat to přes čtverec, lepší je použít krychli:
$((\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)^3)^{11}$
$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i} )^3=\frac{1}{8}(\sqrt{3}+i)^3=\frac{1}{8}(3\sqrt{3}+9i+3\sqrt{3}i^2+i^3)$
$\frac{1}{8}(3\sqrt{3}+9i+3\sqrt{3}i^2+i^3)=\frac{1}{8}(8i)=i$
$((\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i})^3)^{11}=(\text{i})^{11}=-\text{i}$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#7 15. 04. 2014 23:16

bonifax
Příspěvky: 616
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: komplexní čísla

↑ Freedy:

tyjoo moc pěkně díky, jen hele v druhým řádku nechybí ičko v první závorce ? Jak jsi 1/8 vyrval z tý závorky a hodil před závorku hned v prvním kroku M?

Offline

 

#8 15. 04. 2014 23:21

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: komplexní čísla

Ahoj, nemusel jsem to dělat, ale nechtělo se mi všude psát zlomek s osminama :D
Je to jen normální vytýkání:
$(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i})^3 = (\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\text{i}))^3=\frac{1}{2^3}(\sqrt{3}+\text{i})^3$


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#9 15. 04. 2014 23:23 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:26)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

↑ bonifax:,casto existuje viac metod.
Ako vidim, tu co som ti navrhol podla casu tvojho a mojho prispevku ti trvalo 16 min. to je trocha vela. Ale iste to dokazes zlepsit. 
Vyhoda metody cis je ze ju mozes pouzit prakticky vzdy.
Tiez je to metoda co ti da okamzitu odpoved, ak by si chcel za kazdu cenu pracovat na algebrickej forme, ako to urobit co najekonomicky...
Akoze na kolegovu metodu mas dokumentaciu, tak ju mozes kludne pouzit.

Poznamka: ↑ bonifax: v tvojom vypocte si mohol najprv zjednodusit zlomok 33/6, a tiez pouzit périodu $ 2\pi$

A na koniec nemas ani konecny vysledok na danu otazku.odpoved je -1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 15. 04. 2014 23:27

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: komplexní čísla

vanok napsal(a):

Vyhoda metody cis je ze ju mozes pouzit prakticky vzdy.

To jistě ano, ale algebraická metoda zahrnuje daleko víc možností řešení, než goniometrická. Pokud se teda bavíme o počítání bez kalkulačky.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#11 15. 04. 2014 23:41 — Editoval vanok (15. 04. 2014 23:46)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

↑ Freedy:,
To iste zavisi od ludi. Na cis, tiez nebolo treba pouzit nic ine ako zname vedomosti. A rychlost dvoch metod si sam porovnaj.
Ozaj tato mnemotechnika ti hovori nieco?
$0,\pi/6,\pi/4,\pi /3, \pi/2$
$0, 1/2,\sqrt2/2,\sqrt3/2,1$
zabavne a pre niehoho aj uzitocne! ( poznal si to)

Co sa tyka pocitania, bez kalkulacky, kde maju vyst  pekne hodnoty sa pouzivaju skoro vzdy ( na strednej skole) len uhly ktorych ( alebo ich  "nasobku") sin a cos sa da jednoducho vyjadrit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 15. 04. 2014 23:44 — Editoval bonifax (15. 04. 2014 23:45)

bonifax
Příspěvky: 616
Škola: VŠE
Pozice: student
Reputace:   19 
 

Re: komplexní čísla

↑ Freedy:

jj aha jasny už :D , díky

↑ vanok:

vánku :D, já ale nesleduji nepřetržitě jenom tohle forum, proto nemůžu reagovat hned na každou odpověď. Chtěl jsem znát tenhle konkrétní postup, nikoli přes převod na gonio. tvar, který jsi mi navrhoval ty. To jsem uvedl i při založení topiku ;-)

Ten příklad jsem, ale nepočítal, mám ho již vyřešený, takže jsem ho jen přepisoval do texu. Výsledek je mi zřejmý z posl. tvaru, který jsem uvedl, určitě i tobě, tak nač uvádět výsledek.

i tak díky za odpovědi , Měj se.)

Offline

 

#13 15. 04. 2014 23:47

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

↑ bonifax:,
Ok, latex to nas brzdi, ze.
Tak dobre pokracovanie a vela uspechov.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 16. 04. 2014 07:18

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: komplexní čísla

vanok:
samozřejmě si myslím že goniometrický tvar je na umocňování k.č. nejlepší (stejně tak exponenciální).
Mě šlo jen o to, že kdyby jsi měl například:
$(1+2i)^{8}$ tak už by se to goniometricky z hlavy řešit nedalo, ale algebraicky pořád ano.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#15 16. 04. 2014 11:01

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: komplexní čísla

Ahoj ↑ Freedy:
To mas pravdu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson