Matematické Fórum

Mr.Luc · 25. 05. 2014 21:21

Ahoj, mohl by mi někdo poradit? Mám vektor r=x*i+y*j+z*k, kde i, j , k jsou jednotkové vektory, má spočítat divergenci výrazu div((r*c)*r) =? , kde c je konstanta (konstantní vektor), ví někdo, co s tím? Já jsem dospěl k výsledku 2*c*r, ale dle několika nezávislých zdrojů je správný výsledek 4*c*r.
Díky Lukáš.

Bati · 25. 05. 2014 22:35

Ahoj, ↑ Mr.Luc:
ta úloha není korektně zadaná, nebo je neúplná. Na čem závisí x, y, z?

Mr.Luc · 26. 05. 2014 09:15 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 09:16)

r je polohový vektor o souřadnicích x,y,z, jehož divergence je konkrétně 3. Nicméně divergence toho výrazu mi vychází jinak, než jsem našel v několika nezávislých zdrojích:

$div((\textbf{r}\textbf{c})\textbf{r})=???$ . Má to vyjít $4\textbf{c}\textbf{r}$ , já jsem došel k výsledku při výpočtu podle definici $2\textbf{c}\textbf{r}$ , ale nevím, kde bych mohl udělat chybu, možná neumím derivovat:)
Lukáš.

Bati · 26. 05. 2014 10:04

↑ Mr.Luc:
Už tomu asi rozumím...je to myšleno takhle: $\textbf{r}=(r_1(x,y,z),r_2(x,y,z),r_3(x,y,z))$ , kde $r_1(x,y,z):=x$ , $r_2(x,y,z):=y$ , $r_3(x,y,z):=z$ . Teď už mi to sedí na divergenci, protože je to závislý na 3 proměnných, předtím jsem to nechápal, nejsem fyzik :-)

Co říkáš na tohle:
$\text{div}\,((\textbf{r}\cdot \textbf{c})\textbf{r})\nl =\text{div}\,(c(x+y+z)(x,y,z))\nl =c\,\text{div}\,(x^2+xy+xz,xy+y^2+yz,xz+yz+z^2)\nl =c(2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z)=4\textbf{c}\cdot \textbf{r}$ .

Mr.Luc · 26. 05. 2014 10:12 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 10:12)

Jo, to by asi dávalo smysl. Já jsem se do toho pěkně zamotal a pochopil jsem to jinak:). Předpokládám tedy, že v té druhé závorce má být také x+y+z místo x,y,z ? Jinak díky moc.

Rumburak · 26. 05. 2014 10:14

↑ Mr.Luc:
Ahoj.

Takže $(\textbf{r}\textbf{c})\textbf{r} = ((\textbf{r}\textbf{c})x, (\textbf{r}\textbf{c})y, (\textbf{r}\textbf{c})z)$ ,

podle věty o derivaci součinu bude (když $\textbf{c} = (c_1, c_2, c_3)$ ) např.

$((\textbf{r}\textbf{c})x)_x = (\textbf{r}\textbf{c})_x \cdot x + (\textbf{r}\textbf{c}) = c_1\cdot x + (\textbf{r}\textbf{c})$ ,

obdobně vyjádříme $((\textbf{r}\textbf{c})y)_y , ((\textbf{r}\textbf{c})z)_z$ .
Hledanou divergenci získáme posčítáním těchto tří mezivýsledků.

Bati · 26. 05. 2014 10:14

↑ Mr.Luc:
Ne, tam má být vektor $(x,y,z)$ jak píšu, jinak by to ani nesedělo dimenzema. Divergence musí být z vektoru. Skalární součiny značím výhradně $\cdot$ , normální součiny neznačím, dost mi to pomáhá.

Mr.Luc · 26. 05. 2014 10:18

Jo, tohle mi pomohlo se zorientovat:).
Díky moc L.

Bati · 26. 05. 2014 10:19

↑ Rumburak:
Čili doporučuješ použít vztah
$\text{div}\,(av)=\nabla a\cdot v+a\,\text{div}\,v$ pro $v$ vektorovou, $a$ skalární funkci, chápu-li správně.

Mr.Luc · 26. 05. 2014 10:19

jj, už se chytám:).
Ještě jednou díky moc.
L.

Rumburak

↑ Bati:

Sám nevím :-) , tyto vzorce si nepamatuji.
Vědomě jsem postupoval pouze z definice divergence a pomocí elementárních vět o (parciálních) derivacích.

Bati · 26. 05. 2014 10:46 — Editoval Bati (26. 05. 2014 10:47)

↑ Rumburak:
No v podstatě jsi ten vzorec odvodil, protože, když ponechám označení $\textbf{r}=(r_1,r_2,r_3)$ , tak jsi napsal
$((\textbf{r}\textbf{c})r_1)_x = (\textbf{r}\textbf{c})_x r_1 + (\textbf{r}\textbf{c})\frac{\partial{r_1}}{\partial{x}}$
a vysčítáním, jak jsi naznačil, dostaneme rovnost
$\text{div}\,((\textbf{rc})\textbf{r})=\nabla(\textbf{rc})\cdot\textbf{r}+(\textbf{rc})\,\text{div}\,\textbf{r}$ .
Mně se ten vzorec dobře pamatuje, protože je to stejné schéma jako právě derivace součinu $(uv)'=u'v+uv'$ .

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2014 21:21

Operátor divergence

#2 25. 05. 2014 22:35

Re: Operátor divergence

#3 26. 05. 2014 09:15 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 09:16)

Re: Operátor divergence

#4 26. 05. 2014 10:04

Re: Operátor divergence

#5 26. 05. 2014 10:12 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 10:12)

Re: Operátor divergence

#6 26. 05. 2014 10:14

Re: Operátor divergence

#7 26. 05. 2014 10:14

Re: Operátor divergence

#8 26. 05. 2014 10:18

Re: Operátor divergence

#9 26. 05. 2014 10:19

Re: Operátor divergence

#10 26. 05. 2014 10:19

Re: Operátor divergence

#11 26. 05. 2014 10:24 — Editoval Rumburak (26. 05. 2014 10:27)

Re: Operátor divergence

#12 26. 05. 2014 10:46 — Editoval Bati (26. 05. 2014 10:47)

Re: Operátor divergence

Zápatí