Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 05. 2014 21:21

Mr.Luc
Příspěvky: 83
Reputace:   
 

Operátor divergence

Ahoj, mohl by mi někdo poradit? Mám vektor r=x*i+y*j+z*k, kde i, j , k jsou jednotkové vektory, má spočítat divergenci výrazu div((r*c)*r) =? , kde c je konstanta (konstantní vektor), ví někdo, co s tím? Já jsem dospěl k výsledku 2*c*r, ale dle několika nezávislých zdrojů je správný výsledek 4*c*r.
Díky Lukáš.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Mr.Luc)

#2 25. 05. 2014 22:35

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: Operátor divergence

Ahoj, ↑ Mr.Luc:
ta úloha není korektně zadaná, nebo je neúplná. Na čem závisí x, y, z?

Offline

 

#3 26. 05. 2014 09:15 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 09:16)

Mr.Luc
Příspěvky: 83
Reputace:   
 

Re: Operátor divergence

r je polohový vektor o souřadnicích x,y,z, jehož divergence je konkrétně 3. Nicméně divergence toho výrazu mi vychází jinak, než jsem našel v několika nezávislých zdrojích:

$div((\textbf{r}\textbf{c})\textbf{r})=???$ . Má to vyjít $4\textbf{c}\textbf{r}$, já jsem došel k výsledku při výpočtu podle definici $2\textbf{c}\textbf{r}$, ale nevím, kde bych mohl udělat chybu, možná neumím derivovat:)
Lukáš.

Offline

 

#4 26. 05. 2014 10:04

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: Operátor divergence

↑ Mr.Luc:
Už tomu asi rozumím...je to myšleno takhle: $\textbf{r}=(r_1(x,y,z),r_2(x,y,z),r_3(x,y,z))$, kde $r_1(x,y,z):=x$, $r_2(x,y,z):=y$, $r_3(x,y,z):=z$. Teď už mi to sedí na divergenci, protože je to závislý na 3 proměnných, předtím jsem to nechápal, nejsem fyzik :-)

Co říkáš na tohle:
$\text{div}\,((\textbf{r}\cdot \textbf{c})\textbf{r})\nl
=\text{div}\,(c(x+y+z)(x,y,z))\nl
=c\,\text{div}\,(x^2+xy+xz,xy+y^2+yz,xz+yz+z^2)\nl
=c(2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z)=4\textbf{c}\cdot \textbf{r}$.

Offline

 

#5 26. 05. 2014 10:12 — Editoval Mr.Luc (26. 05. 2014 10:12)

Mr.Luc
Příspěvky: 83
Reputace:   
 

Re: Operátor divergence

Jo, to by asi dávalo smysl. Já jsem se do toho pěkně zamotal a pochopil jsem to jinak:). Předpokládám tedy, že v té druhé závorce má být také x+y+z místo x,y,z ? Jinak díky moc.

Offline

 

#6 26. 05. 2014 10:14

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Operátor divergence

↑ Mr.Luc:
Ahoj.

Takže $(\textbf{r}\textbf{c})\textbf{r} = ((\textbf{r}\textbf{c})x,   (\textbf{r}\textbf{c})y,   (\textbf{r}\textbf{c})z)$ ,

podle věty o derivaci součinu bude (když   $\textbf{c} = (c_1,  c_2,  c_3)$) např.

     $((\textbf{r}\textbf{c})x)_x =  (\textbf{r}\textbf{c})_x \cdot x    +    (\textbf{r}\textbf{c}) =  c_1\cdot x  +    (\textbf{r}\textbf{c})$ ,

obdobně  vyjádříme  $((\textbf{r}\textbf{c})y)_y ,  ((\textbf{r}\textbf{c})z)_z$.
Hledanou divergenci získáme posčítáním těchto tří mezivýsledků.

Offline

 

#7 26. 05. 2014 10:14

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: Operátor divergence

↑ Mr.Luc:
Ne, tam má být vektor $(x,y,z)$ jak píšu, jinak by to ani nesedělo dimenzema. Divergence musí být z vektoru. Skalární součiny značím výhradně $\cdot$, normální součiny neznačím, dost mi to pomáhá.

Offline

 

#8 26. 05. 2014 10:18

Mr.Luc
Příspěvky: 83
Reputace:   
 

Re: Operátor divergence

Jo, tohle mi pomohlo se zorientovat:).
Díky moc L.

Offline

 

#9 26. 05. 2014 10:19

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: Operátor divergence

↑ Rumburak:
Čili doporučuješ použít vztah
$\text{div}\,(av)=\nabla a\cdot v+a\,\text{div}\,v$ pro $v$ vektorovou, $a$ skalární funkci, chápu-li správně.

Offline

 

#10 26. 05. 2014 10:19

Mr.Luc
Příspěvky: 83
Reputace:   
 

Re: Operátor divergence

jj, už se chytám:).
Ještě jednou díky moc.
L.

Offline

 

#11 26. 05. 2014 10:24 — Editoval Rumburak (26. 05. 2014 10:27)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Operátor divergence

↑ Bati:

Sám nevím :-) ,  tyto vzorce si nepamatuji. 
Vědomě jsem postupoval pouze z definice divergence a pomocí elementárních vět o (parciálních) derivacích.

Offline

 

#12 26. 05. 2014 10:46 — Editoval Bati (26. 05. 2014 10:47)

Bati
Příspěvky: 2375
Reputace:   187 
 

Re: Operátor divergence

↑ Rumburak:
No v podstatě jsi ten vzorec odvodil, protože, když ponechám označení $\textbf{r}=(r_1,r_2,r_3)$, tak jsi napsal
$((\textbf{r}\textbf{c})r_1)_x =  (\textbf{r}\textbf{c})_x r_1    +    (\textbf{r}\textbf{c})\frac{\partial{r_1}}{\partial{x}}$
a vysčítáním, jak jsi naznačil, dostaneme rovnost
$\text{div}\,((\textbf{rc})\textbf{r})=\nabla(\textbf{rc})\cdot\textbf{r}+(\textbf{rc})\,\text{div}\,\textbf{r}$.
Mně se ten vzorec dobře pamatuje, protože je to stejné schéma jako právě derivace součinu $(uv)'=u'v+uv'$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson