Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 07. 2014 21:48

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Věta o izomorfismu?

Ahoj, mám takovýhle problém:
$H\triangleleft G$ jsou grupy a je $G/H\cong A$. Pro $B\triangleleft A$ existuje $K\in [H,G]$, $K\triangleleft G$ taková, že $G/K\cong A/B$. Je taky $K/H\cong B$ ?
Prosím o radu.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

#2 08. 07. 2014 22:52

check_drummer
Příspěvky: 4812
Reputace:   105 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ Andrejka3:
Ahoj, co je to prosím [H,G]? (Podle kontextu to bude nějaká množina grup, ale jaká?) Děkuji za informaci.
PS: Jde o konečné, nekonečné grupy a nebo to nechceš rozlišovat?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 09. 07. 2014 00:03 — Editoval Andrejka3 (09. 07. 2014 02:13)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ check_drummer:
Ahoj, [H,G] je myšlen interval ve svazu (normálních) podgrup grupy G. Takže jen tohle $H\leq K\leq G$.
Jinak stačí pro konečné grupy. Původně jsem měla dotaz specifický, ale raději jsem to napsala obecnější.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 09. 07. 2014 23:43

:D
Příspěvky: 69
Reputace:   
 

Re: Věta o izomorfismu?

Ahoj.

Nie som si celkom istý, ale mohlo by to byť nasledovne:
Môžme použiť tretiu vetu o izomorfizme, $\frac{(G/H)}{(K/H)}\cong G/K\cong A/B$, a teda $(K/H)$ je normálna podgrupa. Dostaneme komutatívny diagram:
prvá časť: $(G/H)\to A\to (A/B)$;
druhá časť: $(G/H)\to\frac{(G/H)}{(K/H)}\to(A/B)$.
Odtiaľ vidno, že obraz (K/H) v grupe A je podmnožinou množiny B a je aj normálnou podgrupou v A, vďaka izomorfizmu.

Pre ľubovolnú normálnu podgrupu B grupy A, vezmeme jej obraz v grupe (G/H) [izomorfizmus], ktorý je normálnou podgrupou, a označme ho K. Potom sa použije ten predošlý odstavec a malo by to sedieť.

Offline

 

#5 10. 07. 2014 00:23

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ :D:
Děkuji za odpověď. Byl bych ráda za trochu podrobnější rozpis. Takhle si myslím, že to neověřím, ale děkuji za nápad, budu o tom přemýšlet.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#6 10. 07. 2014 11:52 — Editoval OiBobik (10. 07. 2014 11:57)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ Andrejka3:

Ahoj,

určitě ne nutně, ale vždycky takovou $K$ lze najít.

1) Proč ji lze najít: to je v podstatě jen věta o korespondenci spolu s třetí (druhou?) větou o isomorfismu (myslím, že to je to, o čem píše ↑ :D:).

2) Ale stále může existovat pro $G, H, A, B$ normální podgrupa $K\in [H,G]$ tak, že vše, co píšeš, platí, až na závěr $K/H\simeq B$: stačí vzít $G:=\mathbb{Z}_2^{(\omega)}$ (tj spočetná dir. suma kopií $\mathbb{Z}_2$) $K:=0$, tedy $A:=\mathbb{Z}_2^{(\omega)}$. Pak zvolíme-li $B:=\mathbb{Z}_2\oplus 0 \oplus 0 \dots$ (tj podgrupa $A$ taková, že všechny její prvky mají nenulovou nejvýše první souřadnici; tj "první kopie" $\mathbb{Z}_2$ v té dir. sumě), dostaneme, že $A/B\simeq \mathbb{Z}_2^{(\omega)}$, tedy lze volit $K:=0$. Pak $G/K\simeq A/B$, ale $0=K/H\not \simeq B$.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#7 10. 07. 2014 13:07 — Editoval Andrejka3 (10. 07. 2014 13:08)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ OiBobik:
Díky za odpověď, ten můj dotaz souvisí s nějakou oblastí teorie grup, kterou asi neznám? Ten protipříklad Tě napadnul nějakým elementárním přemýšlením, nebo je za tím hlubší teorie?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#8 11. 07. 2014 09:24 — Editoval OiBobik (11. 07. 2014 10:38)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ Andrejka3:

Nějaká extra teorie k tomu mě asi moc nenapadá... Ten příklad člověk vymyslí tak nějak elementárně (moje intuice za tím je "dostatečně vysoká grupa, tak, že faktorizace někde dole se ztratí"; možná esteticky lepší příklad téhož typu je vzít si Prüferovu grupu, tj, pro $p$ prvočíslo, něco jako $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z}$ se sčítáním, resp $\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists k: z^{p^k}=1\}$ s násobením, což je totéž - pak dokonce faktor podle libovolné vlastní podgrupy je isomorfní původní grupě).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#9 11. 07. 2014 11:01

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Věta o izomorfismu?

↑ OiBobik:
Jasně, pamatuju si, že jsi mě na to už jednou upozorňoval :)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson