Matematické Fórum

Andrejka3 · 08. 07. 2014 21:48

Ahoj, mám takovýhle problém:
$H\triangleleft G$ jsou grupy a je $G/H\cong A$ . Pro $B\triangleleft A$ existuje $K\in [H,G]$ , $K\triangleleft G$ taková, že $G/K\cong A/B$ . Je taky $K/H\cong B$ ?
Prosím o radu.

check_drummer · 08. 07. 2014 22:52

↑ Andrejka3:
Ahoj, co je to prosím [H,G]? (Podle kontextu to bude nějaká množina grup, ale jaká?) Děkuji za informaci.
PS: Jde o konečné, nekonečné grupy a nebo to nechceš rozlišovat?

Andrejka3

↑ check_drummer:
Ahoj, [H,G] je myšlen interval ve svazu (normálních) podgrup grupy G. Takže jen tohle $H\leq K\leq G$ .
Jinak stačí pro konečné grupy. Původně jsem měla dotaz specifický, ale raději jsem to napsala obecnější.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

:D · 09. 07. 2014 23:43

Ahoj.

Nie som si celkom istý, ale mohlo by to byť nasledovne:
Môžme použiť tretiu vetu o izomorfizme, $\frac{(G/H)}{(K/H)}\cong G/K\cong A/B$ , a teda $(K/H)$ je normálna podgrupa. Dostaneme komutatívny diagram:
prvá časť: $(G/H)\to A\to (A/B)$ ;
druhá časť: $(G/H)\to\frac{(G/H)}{(K/H)}\to(A/B)$ .
Odtiaľ vidno, že obraz (K/H) v grupe A je podmnožinou množiny B a je aj normálnou podgrupou v A, vďaka izomorfizmu.

Pre ľubovolnú normálnu podgrupu B grupy A, vezmeme jej obraz v grupe (G/H) [izomorfizmus], ktorý je normálnou podgrupou, a označme ho K. Potom sa použije ten predošlý odstavec a malo by to sedieť.

Andrejka3 · 10. 07. 2014 00:23

↑ :D:
Děkuji za odpověď. Byl bych ráda za trochu podrobnější rozpis. Takhle si myslím, že to neověřím, ale děkuji za nápad, budu o tom přemýšlet.

OiBobik

↑ Andrejka3:

Ahoj,

určitě ne nutně, ale vždycky takovou $K$ lze najít.

1) Proč ji lze najít: to je v podstatě jen věta o korespondenci spolu s třetí (druhou?) větou o isomorfismu (myslím, že to je to, o čem píše ↑ :D:).

2) Ale stále může existovat pro $G, H, A, B$ normální podgrupa $K\in [H,G]$ tak, že vše, co píšeš, platí, až na závěr $K/H\simeq B$ : stačí vzít $G:=\mathbb{Z}_2^{(\omega)}$ (tj spočetná dir. suma kopií $\mathbb{Z}_2$ ) $K:=0$ , tedy $A:=\mathbb{Z}_2^{(\omega)}$ . Pak zvolíme-li $B:=\mathbb{Z}_2\oplus 0 \oplus 0 \dots$ (tj podgrupa $A$ taková, že všechny její prvky mají nenulovou nejvýše první souřadnici; tj "první kopie" $\mathbb{Z}_2$ v té dir. sumě), dostaneme, že $A/B\simeq \mathbb{Z}_2^{(\omega)}$ , tedy lze volit $K:=0$ . Pak $G/K\simeq A/B$ , ale $0=K/H\not \simeq B$ .

Andrejka3

↑ OiBobik:
Díky za odpověď, ten můj dotaz souvisí s nějakou oblastí teorie grup, kterou asi neznám? Ten protipříklad Tě napadnul nějakým elementárním přemýšlením, nebo je za tím hlubší teorie?

OiBobik

↑ Andrejka3:

Nějaká extra teorie k tomu mě asi moc nenapadá... Ten příklad člověk vymyslí tak nějak elementárně (moje intuice za tím je "dostatečně vysoká grupa, tak, že faktorizace někde dole se ztratí"; možná esteticky lepší příklad téhož typu je vzít si Prüferovu grupu, tj, pro $p$ prvočíslo, něco jako $\mathbb{Z}[\frac{1}{p}]/\mathbb{Z}$ se sčítáním, resp $\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists k: z^{p^k}=1\}$ s násobením, což je totéž - pak dokonce faktor podle libovolné vlastní podgrupy je isomorfní původní grupě).

Andrejka3 · 11. 07. 2014 11:01

↑ OiBobik:
Jasně, pamatuju si, že jsi mě na to už jednou upozorňoval :)

Matematické Fórum

#1 08. 07. 2014 21:48

Věta o izomorfismu?

#2 08. 07. 2014 22:52

Re: Věta o izomorfismu?

#3 09. 07. 2014 00:03 — Editoval Andrejka3 (09. 07. 2014 02:13)

Re: Věta o izomorfismu?

#4 09. 07. 2014 23:43

Re: Věta o izomorfismu?

#5 10. 07. 2014 00:23

Re: Věta o izomorfismu?

#6 10. 07. 2014 11:52 — Editoval OiBobik (10. 07. 2014 11:57)

Re: Věta o izomorfismu?

#7 10. 07. 2014 13:07 — Editoval Andrejka3 (10. 07. 2014 13:08)

Re: Věta o izomorfismu?

#8 11. 07. 2014 09:24 — Editoval OiBobik (11. 07. 2014 10:38)

Re: Věta o izomorfismu?

#9 11. 07. 2014 11:01

Re: Věta o izomorfismu?

Zápatí