Matematické Fórum

janina.kucera

Nevím si rady s následující rovnicí:
$2\wedge(\sin x) + 2\wedge (\cos x) = 2\wedge (1-1/\sqrt{2)}$

Děkuji

zdenek1 · 23. 08. 2014 11:40

↑ janina.kucera:
Takto?
$2^{\sin x}+2^{\cos x}=2^{(1-\frac{1}{\sqrt2})}$

janina.kucera · 23. 08. 2014 11:45

↑ zdenek1: ano :)

duskin · 23. 08. 2014 12:24

↑ janina.kucera:
zkusil bych obě strany zlogaritmovat

Freedy · 23. 08. 2014 12:27

↑ duskin:
to sem potom zvědav co uděláš s $\log_{}(2^{\sin x}+2^{\cos x})$

duskin · 23. 08. 2014 12:37

↑ Freedy:
kdybych to zlogaritmoval tak že základ bude 2 tak získám $\log_{2}(2^{sinx}+2^{cosx)}=\log_{2}2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ , takže $sinxcosx=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Freedy · 23. 08. 2014 12:42

To by platilo ale v případě že:
$\log_{2}(2^{\sin x\cos x})=\log_{2}2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$
tady máš součet . Takže tvoje tvrzení není pravdivé.

duskin · 23. 08. 2014 12:47

↑ Freedy:
Už tu chybu vidím, díky za upozornění.

janina.kucera · 23. 08. 2014 12:56

↑ duskin: to právě vím, že tento postup nejde, ale nevím, jak jinak ronici řešit. Nějaké další návrhy?

Sherlock

Z grafu jsem si všiml, že řešení té rovnice budou takové body, pro které funkce $2^{\sin x}+2^{\cos x}$ nabývá minima. K určení takových bodů je třeba řešit rovnici:

$y'=2^{\sin x}\cdot \ln 2\cdot \cos x+2^{\cos x}\cdot \ln 2\cdot (-\sin x)$

$2^{\sin x}\cdot \ln 2\cdot \cos x+2^{\cos x}\cdot \ln 2\cdot (-\sin x)=0$
$2^{\sin x}\cdot \cos x=2^{\cos x}\cdot \sin x$

Čili nemyslím si že je to nějak triviálně řešitelné.

janina.kucera · 23. 08. 2014 13:35

↑ Sherlock: dobře, děkuji

jelena · 24. 08. 2014 10:49

Zdravím,

↑ Sherlock:

kolega Sherlock napsal(a):
Z grafu jsem si všiml, že řešení té rovnice budou takové body...

Toto je vhodné vodítko k řešení, ale graf není důkaz, jak víme a je nám opakováno :-). Sice i bez nástrojů (jen s vlastnosti funkcí) můžeme pracovat s grafy $2^{\sin x}$ a $2^{\cos x}$ a s jejich součtem a (snad i) dokázat, že minima odpovídají minimům pro funkci $g(x)=\sin(x)+\cos(x)$ - což sice usnadní postup hledání. Ale neprokážeme takto, že je to řešení jediné (s ohledem na periodičnost funkce teď mluvím o "jediném řešení na základním intervalu", ať to není matoucí). Souhlasíš?

↑ janina.kucera:

odkud je úloha a jaké nástroje předpokládá k použití. Překlep v zadání bych zde spíš vyloučila, jelikož ten výsledek je viditelný, ale není mi zatím patrná cesta k výsledku. Děkuji za upřesnění.

Xellos · 24. 08. 2014 11:08 — Editoval Xellos (24. 08. 2014 11:12)

Pouzime AG nerovnost:

$2^{\sin{x}}+2^{\cos{x}} \ge 2\sqrt{{2^{\sin{x}}}{2^{\cos{x}}}}=2^{1+\frac{\sin{x}+\cos{x}}{2}}$

Z monotonie $2^x$ staci dokazat, ze

$\sin{x}+\cos{x} \ge -\sqrt{2}$

a zistit, kedy nastava rovnost (len to potom mozu byt riesenia povodnej rovnice). Urcite su aj ine metody, ale mne pride najlahsie zderivovat a hladat extremy:

$(\sin{x}+\cos{x})'=\cos{x}-\sin{x}=0$
$\sin{x}=\cos{x}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

z coho to uz vidno. Dostavame ako riesenie 1 bod na $[0,2\pi)$ , ktory vidime ze riesi povodnu rovnicu.