Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím, kolegové,
berte to, prosím, s rezervou (běžně hlavové kapacity moc nemám, teď i tu trochu, co mám, zaměstnávám "nezapomenout koupit kvasnice"). Kolega (trochu oklikou) diskutoval řešení úlohy 7 - viz odkaz (oficiální řešení je s využitím rozkladu polynomu na součin a zápisem členů posloupnosti - to mám v podstatě stejně a k tomu dotaz nemám).
úloha napsal(a):
Mějme kubickou rovnici x 3 − 45x 2 + 594x + k = 0. Určete hodnotu parametru k, pokud víte, že
kořeny této rovnice jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.
Ovšem kolega má k dispozici řešení, kde se využívá derivace funkce, některé momenty (o počtu kořenů kubického polynomu, o možném tvaru grafu funkce + vyšetření funkce, o vzdálenosti kořenů) nejsou nejasné.
Ale klíčové je, zda z plyne, že inflexní bod (vyšetřený druhou derivaci) je zároveň prostřední kořenem polynomu a jedním z kořenů zadané rovnice. Potom tuto hodnotu dosadím do zadání a rovnou vypočtu .
Představím si, jak kreslíme nad sebou graf funkce, graf 1. derivace, graf 2. derivace, další souvislosti z vyšetření také si představím, ale zda z faktu, že vzdálenost kořenů je stejná (ze zadání), mám polohy extrému (, - na ose x), mohu využit v této úloze 2. derivaci pro střed úsečky mezi extrémy=prostřední kořen. Pokud možné - přímo definici.
Děkuji velice, nehoří :-)
Offline
Pozdravujem ↑ jelena:,
Poznamka:
V danom ( neuplnom)rieseni, (ktore je ozaj velmi neuplne ) su po doplneni, dane zaujimave prkvky, pouzitelne na jedno riesenie problemu.
Da sa doplnit napr. takto:
Akoze tri korene rovnice p,q, r (ich oznacenie moze byt vybrate lubovolne!) tvoria aritmeticku postupnost troch po sebe iducich clenov,
mame p= q-s, r=q+s. Viete nam da p+q+r=3q=45, co da q= 15.
( co umozni tiez po studiu sucinu (x-p)(x-q)(x-r) najst symetrie grafu f)
Vdaka tomu metoda ktoru mal na mysli autor naznaceneho riesenia je jasna...
No vsak, tato metoda sa mi nezda velmi pristupna beznemu stredoskolakovy.
Offline
↑ vanok:
Zdravím a děkuji za reakci. Mohli bych tedy úlohu přeformulovat takto:
Dokažte (nebo vyvraťte), že jeden z kořenů kubické polynomu , o kterém víme, že jeho kořeny tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, je zároveň inflexním bodem funkce f(x)? Moje prosba byla - prostředky diferenciálního počtu, ale i jak navrhuje kolega vanok v předchozím příspěvku.
[b]( co umozni tiez po studiu sucinu (x-p)(x-q)(x-r) najst symetrie grafu f)
Výpočet touto cestou dává správný výsledek, ale něco je na vodě. [/b]
Pro středoškolské využití (předpokládám, že olympiádu toho typu nepovinně řeší vážnější zájemce o matematiku), bych viděla využití v zápisu členů posloupnosti, jak navrhuješ "Akoze tri korene rovnice tvoria aritmeticku postupnost troch po sebe iducich clenov, mame , ".
Potom s tím můžeme pracovat jako voficiálním řešení(zadání 7), nebo jak mám v 2. polovině zprávy. Nebo využit Vietovy vzorce (pokud umíme), nebo k jejich obdobě dojdeme postupným roznásobováním součinu a porovnáním koeficientů u příslušných mocnin x.
Další možnost - pro neznámé (prostřední člen, diference, parametr k) sestavit soustavu 3 rovnic pro 3 kořeny (dosazením do . Soustava je obtížná k řešení, ale řešitelná (alespoň s využitím nástrojů WA).
Děkuji za další příspěvky, nijak to nespěchá.
Offline
↑ jelena:,
Nie je az taka obtiazna ( ta rovnica), vsak q=15 je jeden z korenov (Viete), dosadenim f(15)=0, to da k, a potom f(x)=(x-15)x(pol. 2° )...
Bod inflexie je tiez dosledok symetrie grafu okolo korena q=15.
(geometricky je to bod v ktorom dotycnica prechadza graf krivky).
( to riesenie z derivaciou, zneuziva !!! , to co sa vidi vdaka geometrickej interpretacii... a pouziva krlkolomne vypocty, a na viac nie je kompletne, a ako som vysie naznacil nie je pristupne intiituvne normalnemu stredoskolakovy... I keby bol genius, tak bez diferecialneho poctu, by ho nemohol objavit...)
Offline
↑ vanok:
děkuji, o soustavě rovnic (úplně ne závěr) jsem napsala jako o jednom z možných postupů, pokud bych nevymyslela rozklad na součin a nevybavila Vietovy vzorce. Soustava rovnic by byla "nejméně efektivní cesta".
Vietovy vzorce pro kubicky polynom - nejvíce efektivní pro použití SŠ, ale není jistota, že je známá. Střední cesta - součin (s využitím označení jednotlivých kořenů ) a porovnání koeficientů u stejných mocnin - reálně využitelná na SŠ i bez širších znalostí.
vanok napsal(a):
( to riesenie z derivaciou, zneuziva !!! , to co sa vidi vdaka geometrickej interpretacii... a pouziva krlkolomne vypocty, a na viac nie je kompletne
také tak vidím a proto jsem založila i toto téma.
vsak q=15 je jeden z korenov (Viete), dosadenim f(15)=0, to da k, a potom f(x)=(x-15)x(pol. 2° )...
Bod inflexie je tiez dosledok symetrie grafu okolo korena q=15.
(geometricky je to bod v ktorom dotycnica prechadza graf krivky).
to bych viděla jako dobrý podnět pro středoškoláka, co o problém má zájem a má základy diferenciálního počtu. Ale shodneme se, že jen tak se to použit nedá - bez důkazu a bez odůvodnění.
Děkuji moc za zájem o téma.
Jelena.
Offline
Pozdravujem ↑ jelena:
Este mala doplnujuca poznamka.
Bod inflexie: pouzitie geometrickej interpretacie ( ako aj intuicii) zavisi od sposobu vyucovania co sa tyka grafov funkcii. Mozno to (napr dat do suvisu : parna funkcia= jej graf je.... atd) by iste pomohlo amaterom matematiky.
No ale zastavit sa na mnozine bodov, co sa tyka grafov funkcii....= zabudnut na nieco podstatne.
Offline
Stránky: 1