Matematické Fórum

jelena · 20. 12. 2014 11:34 — Editoval jelena (20. 12. 2014 11:39)

Zdravím, kolegové,

berte to, prosím, s rezervou (běžně hlavové kapacity moc nemám, teď i tu trochu, co mám, zaměstnávám "nezapomenout koupit kvasnice"). Kolega (trochu oklikou) diskutoval řešení úlohy 7 - viz odkaz (oficiální řešení je s využitím rozkladu polynomu na součin a zápisem členů posloupnosti - to mám v podstatě stejně a k tomu dotaz nemám).

úloha napsal(a):
Mějme kubickou rovnici x 3 − 45x 2 + 594x + k = 0. Určete hodnotu parametru k, pokud víte, že
kořeny této rovnice jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.

Ovšem kolega má k dispozici řešení, kde se využívá derivace funkce, některé momenty (o počtu kořenů kubického polynomu, o možném tvaru grafu funkce + vyšetření funkce, o vzdálenosti kořenů) nejsou nejasné.
Ale klíčové je, zda z $f(m)=-f(n)$ plyne, že inflexní bod (vyšetřený druhou derivaci) je zároveň prostřední kořenem polynomu a jedním z kořenů zadané rovnice. Potom tuto hodnotu dosadím do zadání a rovnou vypočtu $k$ .

Představím si, jak kreslíme nad sebou graf funkce, graf 1. derivace, graf 2. derivace, další souvislosti z vyšetření také si představím, ale zda z faktu, že vzdálenost kořenů je stejná (ze zadání), mám polohy extrému ( $m$ , $n$ - na ose x), mohu využit v této úloze 2. derivaci pro střed úsečky mezi extrémy=prostřední kořen. Pokud možné - přímo definici.

Děkuji velice, nehoří :-)

vanok · 21. 12. 2014 17:22 — Editoval vanok (22. 12. 2014 05:44)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Poznamka:
V danom ( neuplnom)rieseni, (ktore je ozaj velmi neuplne ) su po doplneni, dane zaujimave prkvky, pouzitelne na jedno riesenie problemu.
Da sa doplnit napr. takto:
Akoze tri korene rovnice p,q, r (ich oznacenie moze byt vybrate lubovolne!) tvoria aritmeticku postupnost troch po sebe iducich clenov,
mame p= q-s, r=q+s. Viete nam da p+q+r=3q=45, co da q= 15.
( co umozni tiez po studiu sucinu (x-p)(x-q)(x-r) najst symetrie grafu f)
Vdaka tomu metoda ktoru mal na mysli autor naznaceneho riesenia je jasna...

No vsak, tato metoda sa mi nezda velmi pristupna beznemu stredoskolakovy.

jelena · 22. 12. 2014 09:34

↑ vanok:

Zdravím a děkuji za reakci. Mohli bych tedy úlohu přeformulovat takto:

Dokažte (nebo vyvraťte), že jeden z kořenů kubické polynomu $f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ , o kterém víme, že jeho kořeny tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, je zároveň inflexním bodem funkce f(x)? Moje prosba byla - prostředky diferenciálního počtu, ale i jak navrhuje kolega vanok v předchozím příspěvku.

[b]( co umozni tiez po studiu sucinu (x-p)(x-q)(x-r) najst symetrie grafu f)

Výpočet touto cestou dává správný výsledek, ale něco je na vodě. [/b]

Pro středoškolské využití (předpokládám, že olympiádu toho typu nepovinně řeší vážnější zájemce o matematiku), bych viděla využití v zápisu členů posloupnosti, jak navrhuješ "Akoze tri korene rovnice $p,q, r$ tvoria aritmeticku postupnost troch po sebe iducich clenov, mame $p= q-s$ , $r=q+s$ ".

Potom s tím můžeme pracovat jako voficiálním řešení(zadání 7), nebo jak mám v 2. polovině zprávy. Nebo využit Vietovy vzorce (pokud umíme), nebo k jejich obdobě dojdeme postupným roznásobováním součinu a porovnáním koeficientů u příslušných mocnin x.

Další možnost - pro neznámé $q, s, k$ (prostřední člen, diference, parametr k) sestavit soustavu 3 rovnic pro 3 kořeny $q-s, q+s, q$ (dosazením do $x^3-45x^2 + 594x + k = 0$ . Soustava je obtížná k řešení, ale řešitelná (alespoň s využitím nástrojů WA).

Děkuji za další příspěvky, nijak to nespěchá.

vanok · 22. 12. 2014 10:37 — Editoval vanok (22. 12. 2014 10:52)

↑ jelena:,
Nie je az taka obtiazna ( ta rovnica), vsak q=15 je jeden z korenov (Viete), dosadenim f(15)=0, to da k, a potom f(x)=(x-15)x(pol. 2° )...
Bod inflexie je tiez dosledok symetrie grafu okolo korena q=15.
(geometricky je to bod v ktorom dotycnica prechadza graf krivky).
( to riesenie z derivaciou, zneuziva !!! , to co sa vidi vdaka geometrickej interpretacii... a pouziva krlkolomne vypocty, a na viac nie je kompletne, a ako som vysie naznacil nie je pristupne intiituvne normalnemu stredoskolakovy... I keby bol genius, tak bez diferecialneho poctu, by ho nemohol objavit...)

jelena · 22. 12. 2014 11:25

↑ vanok:

děkuji, o soustavě rovnic (úplně ne závěr) jsem napsala jako o jednom z možných postupů, pokud bych nevymyslela rozklad na součin a nevybavila Vietovy vzorce. Soustava rovnic by byla "nejméně efektivní cesta".

Vietovy vzorce pro kubicky polynom - nejvíce efektivní pro použití SŠ, ale není jistota, že je známá. Střední cesta - součin $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$ (s využitím označení jednotlivých kořenů $q-s, q+s, q$ ) a porovnání koeficientů u stejných mocnin - reálně využitelná na SŠ i bez širších znalostí.

vanok napsal(a):
( to riesenie z derivaciou, zneuziva !!! , to co sa vidi vdaka geometrickej interpretacii... a pouziva krlkolomne vypocty, a na viac nie je kompletne

také tak vidím a proto jsem založila i toto téma.

vsak q=15 je jeden z korenov (Viete), dosadenim f(15)=0, to da k, a potom f(x)=(x-15)x(pol. 2° )...
Bod inflexie je tiez dosledok symetrie grafu okolo korena q=15.
(geometricky je to bod v ktorom dotycnica prechadza graf krivky).

to bych viděla jako dobrý podnět pro středoškoláka, co o problém má zájem a má základy diferenciálního počtu. Ale shodneme se, že jen tak se to použit nedá - bez důkazu a bez odůvodnění.

Děkuji moc za zájem o téma.

Jelena.

vanok · 22. 12. 2014 12:24

Pozdravujem ↑ jelena:
Este mala doplnujuca poznamka.
Bod inflexie: pouzitie geometrickej interpretacie ( ako aj intuicii) zavisi od sposobu vyucovania co sa tyka grafov funkcii. Mozno to (napr dat do suvisu : parna funkcia= jej graf je.... atd) by iste pomohlo amaterom matematiky.
No ale zastavit sa na mnozine bodov, co sa tyka grafov funkcii....= zabudnut na nieco podstatne.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2014 11:34 — Editoval jelena (20. 12. 2014 11:39)

Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

úloha napsal(a):

#2 21. 12. 2014 17:22 — Editoval vanok (22. 12. 2014 05:44)

Re: Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

#3 22. 12. 2014 09:34

Re: Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

#4 22. 12. 2014 10:37 — Editoval vanok (22. 12. 2014 10:52)

Re: Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

#5 22. 12. 2014 11:25

Re: Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

vanok napsal(a):

#6 22. 12. 2014 12:24

Re: Internetová mat. olympiada FSI VUT Brno - úloha 7

Zápatí