Matematické Fórum

Katsushiro · 14. 09. 2015 02:05

Ahoj všichni!

Snažím se dostat do "důkazových" úloh, kterým jsem se doteď prakticky nevěnoval - na VŠ jsem se učil spíše algoritmy výpočtů pro konkrétní příklady, popř. se na hodině vysvětlila indukce a pár úloh na nepřímý důkaz a spor. Nejsem si tedy jistý u řešení následujícího příkladu:

Zadání:
V - vektorový prostor (pro zjednodušení značím jen takhle a ne korektně $(V, +, *)$ )

$a,b\in V$

Dokažte, že pro KAŽDÉ $a,b$ má rovnice PRÁVĚ JEDNO řešení, a to $x = -b + a$ .

Můj postup:
1) Chci dokazovat něco o "právě jednom", tedy zkusím nejdřív důkaz sporem.
2) Předpokládám tedy 2 různá řešení místo jednoho:

$a = b + x_1$
$a = b + x_2$
$x_1 \neq x_2$

3) Upravím si $x = -b + a$ na $x = a - b$ .
4) $x_1 = a - b$

Dosadím za "a" dle druhého řádku předpokladu (bod 2 řešení).

$x_1 = (b + x_2) - b$

Upravím výraz.

$x_1 = x_2$

5) Získal jsem tedy spor:
$x_1 = x_2$ (bod 4 řešení)
$x_1 \neq x_2$ (3 řádek předpokladu - bod 2 řešení)

Dá se to řešit nějak takhle nebo na to jdu úplně blbě?

Moc díky za všechny rady,
Katsu.

Rumburak · 14. 09. 2015 14:34

↑ Katsushiro:

Ahoj.

Důkaz jednoznačnosti řešení rovnice $a = b + x$ by tímto způsobem, myslím, šel,
ale není tím vyřešena otázka existence řešení.

Podívej se na axiomy vektorového prostoru, například zde, odstavec Definice vektorového prostoru.

vanok · 14. 09. 2015 15:15

Ahoj ↑ Katsushiro:, ↑ Rumburak:
Ak ide o riesenie rovnice x+b=a
tak staci si uvedomit, ze ide o rovnicu v komutativnej grupe (V,+).
Akoze, v structure grupy, operacia + je dobre (jednoznacne ) defininovana. Naviac jej axiomy zarucuju existenciu opacneho prvku.
Preto vdaka standardnej (=beznej) axiomatike odpoved na dane otazky je automaticka.
Poznamejme, ze niekedy sa mozeme stretnut z inymi axiomatikamy structury grupy, no v tom (exotickom pripade) to treba upresnit.

kaja.marik

Taky bych se jenom odvolal na to, ze (V,+) je komutativni grupa.

Pokud bych to rozepisoval, asi bych to lehce zkratili tim, ze bych nezduraznoval ze na to jdu sporem, nezduraznoval, ze $x_1 \neq x_2$ , ale predpokladal, ze $x_1$ je reseni tvaru $-b+a$ (dosazenim predtim overim, ze to reseni skutecne je) a potom predpokladal, ze $x_2$ je jakelikov jine reseni a ukazal ze $x_1 = x_2$ , presne jak to je v uvodnim prispevku. Tim je existence i jednoznacnost dokazana.

Katsushiro · 18. 09. 2015 23:34

Moc všem díky ;-)

Matematické Fórum

#1 14. 09. 2015 02:05

Důkaz o "právě jednom řešení"

#2 14. 09. 2015 14:34

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

#3 14. 09. 2015 15:15

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

#4 15. 09. 2015 20:45 — Editoval kaja.marik (15. 09. 2015 20:46)

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

#5 18. 09. 2015 23:34

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

Zápatí