Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 09. 2015 02:05

Katsushiro
Místo: Rožnov pod Radhoštěm
Příspěvky: 144
Škola: VŠB TUO - FEI
Pozice: student
Reputace:   
 

Důkaz o "právě jednom řešení"

Ahoj všichni!

Snažím se dostat do "důkazových" úloh, kterým jsem se doteď prakticky nevěnoval - na VŠ jsem se učil spíše algoritmy výpočtů pro konkrétní příklady, popř. se na hodině vysvětlila indukce a pár úloh na nepřímý důkaz a spor. Nejsem si tedy jistý u řešení následujícího příkladu:

Zadání:
V - vektorový prostor (pro zjednodušení značím jen takhle a ne korektně $(V, +, *)$ )

$a,b\in V$

Dokažte, že pro KAŽDÉ $a,b$ má rovnice PRÁVĚ JEDNO řešení, a to $x = -b + a$.

Můj postup:
1) Chci dokazovat něco o "právě jednom", tedy zkusím nejdřív důkaz sporem.
2) Předpokládám tedy 2 různá řešení místo jednoho:

$a = b + x_1$
$a = b + x_2$
$x_1 \neq x_2$

3) Upravím si $x = -b + a$ na $x = a - b$.
4) $x_1 = a - b$

Dosadím za "a" dle druhého řádku předpokladu (bod 2 řešení).

$x_1 = (b + x_2) - b$

Upravím výraz.

$x_1 = x_2$

5) Získal jsem tedy spor:
$x_1 = x_2$ (bod 4 řešení)
$x_1 \neq x_2$ (3 řádek předpokladu - bod 2 řešení)

Dá se to řešit nějak takhle nebo na to jdu úplně blbě?

Moc díky za všechny rady,
Katsu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Katsushiro)

#2 14. 09. 2015 14:34

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

↑ Katsushiro:

Ahoj. 

Důkaz jednoznačnosti řešení rovnice $a = b + x$ by tímto způsobem, myslím, šel,
ale není tím vyřešena otázka existence řešení.

Podívej se na axiomy vektorového prostoru, například zde, odstavec Definice vektorového prostoru.

Offline

 

#3 14. 09. 2015 15:15

vanok
Příspěvky: 14531
Reputace:   742 
 

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

Ahoj ↑ Katsushiro:, ↑ Rumburak:
Ak ide o riesenie rovnice x+b=a
tak staci si uvedomit, ze ide o rovnicu v komutativnej  grupe (V,+). 
Akoze, v structure grupy, operacia + je dobre (jednoznacne ) defininovana. Naviac  jej axiomy zarucuju existenciu opacneho prvku.
Preto vdaka standardnej (=beznej) axiomatike odpoved na dane otazky je automaticka.
Poznamejme, ze niekedy sa mozeme stretnut z inymi axiomatikamy structury grupy, no v tom (exotickom pripade) to treba upresnit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 15. 09. 2015 20:45 — Editoval kaja.marik (15. 09. 2015 20:46)

kaja.marik
Veterán
Příspěvky: 1915
Reputace:   57 
 

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

Taky bych se jenom odvolal na to, ze (V,+) je komutativni grupa.

Pokud bych to rozepisoval, asi bych to lehce zkratili tim, ze bych nezduraznoval ze na to jdu sporem, nezduraznoval, ze $x_1 \neq x_2$, ale predpokladal, ze $x_1$ je reseni tvaru $-b+a$ (dosazenim predtim overim, ze to reseni skutecne je) a potom predpokladal, ze $x_2$ je jakelikov jine reseni a ukazal ze $x_1 = x_2$, presne jak to je v uvodnim prispevku. Tim je existence i jednoznacnost dokazana.

Offline

 

#5 18. 09. 2015 23:34

Katsushiro
Místo: Rožnov pod Radhoštěm
Příspěvky: 144
Škola: VŠB TUO - FEI
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz o "právě jednom řešení"

Moc všem díky ;-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson