Matematické Fórum

prdec · 23. 01. 2016 01:17

Ahoj potřeboval bych poradit s tímto příkladem :D Rozhodněte, zda posloupnost $\{n-2/n^{2}+1\}n=1\Rightarrow \infty$ je monotónní a omezená. Své tvrzení zdůvodněte.

Řešení:Posloupnost není monotónní, shora je omezená svým čtvrtým členem a4 = 2/17, zdola
prvním členem a1 = −1/2

Nevím jak příklad správně uchopit a kde začít a zda to dělám správně? prosím o pomoc a vysvětlení?

1) Jsem si učil a1 vyšlo mi -1/2 ok je to sup i min ok, ale vůbec nevím jak se přichází na maximum (VYSVĚTLÍ MI NĚKDO JAK ZJISTÍM U LIBOVOLNÉ POSLOUPNOSTI MAXIMUM)? (zkusil jsem udělat limitu v nekonečnu, ale ani náhodou se nedostanu k číslu 2/17.

2) a z monotonie podle vzorce $a_{n} - a_{n+1}=$ mi vychazí kvadratická rovnice ze které nevím jak uniknou :D

Děkuji za radu :D

nanny1 · 24. 01. 2016 11:21

Ahoj, myslíš tím předpisem $\frac{n-2}{n^2+1}$ ? Nejdřív zkus zjistit, jestli je posloupnost omezená (můžeš snadno využít implikace konvergentní $\Rightarrow$ omezená). Správně jsi určil, že minimum je -1/2. Kolik vyšla limita? Budeme předpokládat, že posloupnost je monotónní - rostoucí, tj. mělo by platit $a_{n}<a_{n+1}$ . Vyjde Ti kvadratická nerovnice. Uvaž, jestli tahle nerovnice platí pro všechna $n$ , případně pro která n už neplatí. Napiš, jak to jde. :)

prdec · 24. 01. 2016 14:51

Díky za odpověď :D

Mě vyšlo pro vzorec $a_{n}<a_{n+1}$ -> $n^{2}-2n-5<0$

a potom $n_{1,2}=1\mp 2\sqrt{6}$

Al1 · 24. 01. 2016 15:16

↑ prdec:

Zdravím,

tak ta nerovnice je chybně, správně je $n^{2}-3n-3<0$

nanny1 · 24. 01. 2016 15:23 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:24)

↑ prdec: Jj, máš chybu v té nerovnici, jak psal Al1.. No ale $n$ jsou přirozená čísla. ;) Jde teď o to zamyslet se nad tím, jestli nerovnost platí pro všechna n, zkus dosazovat za n..

prdec · 24. 01. 2016 15:27

Jo díky už mi to taky vyšlo :D

prdec · 24. 01. 2016 15:28

Jo díky už mi to taky vyšlo :D

$n_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{21}}{2}$

ALE CO DÁL?

nanny1 · 24. 01. 2016 15:30

↑ prdec: Ta $n$ jsou daná - jen přirozená čísla: 1, 2, 3, 4, 5,... Dosazuj za $n$ a zkoumej, jestli nerovnost platí, případně od kterého $n$ už neplatí.

prdec · 24. 01. 2016 15:35

Neplatí až od n=4, ne?

nanny1 · 24. 01. 2016 15:38

Pokud by platila pro všechna $n$ , potom by byla posloupnost rostoucí, pokud od určitého indexu $n$ už nerovnost neplatí, potom máme šanci zjistit, u kterého členu posloupnosti se "mění směr". Což nás navede na to, kde je maximum. ;)

nanny1 · 24. 01. 2016 15:41

↑ prdec: Přesně tak. :) Zkus si představit, co to znamená. Předpokládali jsme rostoucí posloupnost, což platilo až do $a_{_{3}}$ .

nanny1 · 24. 01. 2016 15:49 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:50)

Od $a_{4}$ dál bychom museli nerovnost otočit, aby platila, tj. posloupnost je od $a_{4}$ klesající a jde hodně pomalu k nule (k limitě posloupnosti). Takže v $a_{4}$ posloupnost "mění směr", a protože je to změna z rostoucí na klesající, musí tam být maximum.

nanny1 · 24. 01. 2016 15:56

Je to jasný? Zkus si kdyžtak dosadit přímo do předpisu posloupnosti, např. pro $n=3,4,5$ . Uvidíš, že pro $n=4$ vyjde největší hodnota.

prdec · 24. 01. 2016 16:05

Jo tak díky moc :D

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2016 01:17

Posloupnost

#2 24. 01. 2016 11:21

Re: Posloupnost

#3 24. 01. 2016 14:51

Re: Posloupnost

#4 24. 01. 2016 15:16

Re: Posloupnost

#5 24. 01. 2016 15:23 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:24)

Re: Posloupnost

#6 24. 01. 2016 15:27

Re: Posloupnost

#7 24. 01. 2016 15:28

Re: Posloupnost

#8 24. 01. 2016 15:30

Re: Posloupnost

#9 24. 01. 2016 15:35

Re: Posloupnost

#10 24. 01. 2016 15:38

Re: Posloupnost

#11 24. 01. 2016 15:41

Re: Posloupnost

#12 24. 01. 2016 15:49 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:50)

Re: Posloupnost

#13 24. 01. 2016 15:56

Re: Posloupnost

#14 24. 01. 2016 16:05

Re: Posloupnost

Zápatí