Matematické Fórum

Martin123 · 27. 01. 2016 14:13

Ahojte, mam priklad V mnozine $C$ najdite korene rovnice $x^5=32$ Viete mi poradit ako na to? Viem ze jeden koren bude $2$ ale ostatne styry? Dakujem.

Rumburak · 27. 01. 2016 15:00

↑ Martin123:

Ahoj. Jde o tzv. binomickou rovnici. Řešíme ji tak, že její kořen hledáme v goniometrickém tvaru

$r (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)$ .

Ten dosadíme do rovnice $x^5=32$ , umocníme podle věty pana de Moivre a porovnáme levou stranu rovnice
s její pravou stranou, kde píšeme $32 = 32 (\cos 2k\pi + \mathrm{i} \sin 2k\pi)$ , $k$ celé číslo.
Touto metodou lze nalézt všech 5 kompexníxh kořenů dané rovnice.

Martin123 · 27. 01. 2016 15:10

Vedel by ste mi posunut nejaky vhodny material ? Rad by som si to nastudoval kompletne.

Al1 · 27. 01. 2016 15:27

↑ Martin123:

Zdravím,

hledej binomickou rovnici třeba zde

Rumburak

↑ Martin123:

Není k tomu potřeba mnoho studovat. Podle mého návodu v ↑ Rumburak: dojdeme k rovnici

$r^5 (\cos 5\alpha + \mathrm{i} \sin 5\alpha) = 32 (\cos 2k\pi + \mathrm{i} \sin 2k\pi)$ .

porovnání levé strany s pravou dá $r^5 = 32, 5\alpha = 2k\pi$ , tedy

$r = 2 , \alpha = \alpha_k = \frac {2k\pi}{5}$ .

Pokud jde o celočíselný parametr $k$ : stačí, probíhá-li např. množinu $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ , neboť tím jsou
už vyčerpány všechny možnosti - pro další celá čísla $k$ se hodnoty $(\cos \alpha_k + \mathrm{i} \sin \alpha_k)$
cyklicky opakují.

Cvičení: Jak by se řešila rovnce $x^5 = -32$ ?

misaH · 28. 01. 2016 14:25

↑ Rumburak:

Vyzerá to, že zadávateľ o gonio tvare komplexného čísla nechyruje - možno ani o komplexnom čísle...

Tam to asi bez štúdia nepôjde...

Martin123

takze hladane korene su $2,2[cos\frac{2\pi}{5}+i sin \frac{2\pi}{5}],2[cos\frac{4\pi}{5}+i sin \frac{4\pi}{5}],2[cos\frac{6\pi}{5}+i sin \frac{6\pi}{5}],2[cos\frac{8\pi}{5}+i sin \frac{8\pi}{5}]$ ? v tom dokumente rozumiem vsetkemu okrem $\alpha$ odkial sa tam vzalo? a preco plati $cos \alpha = -1$ a $sin \alpha = 0$ toto plati pre $x=k\pi , k\in \mathbb{Z}$ ale nerozumiem odkial sme to ziskali.

Martin123

takze tie korene ktore som ja nasiel su chybne?

Rumburak

↑ Martin123:

Kořeny jsou správně. Kolega Marnes nabízí jen jiný postup, jak původní rovnici řešit.

K dalšímu dotazu: Mějme NENULOVĚ komplexní číslo $z = x + y \mathrm{i}$ zapsané v algebraickém tvaru
(tj. $x, y$ jsou reálná čísla, z nichž - dle přijatého předpokladu - aspoň jedno je nenulové).
Položme $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ , z podmínky kladené na číslo $z$ dále plyne $r > 0$ .
Provedeme úpravu
(1) $z = r \cdot \frac{z}{r} = r \cdot \frac{x + y \mathrm{i}}{r} = r $\frac{x}{r} + \frac{y}{r}\cdot \mathrm{i}$$ .

Zřejmě platí $$\frac{x}{r}$^2 + $\frac{y}{r}$^2 = 1$ , takže existuje reálné číslo $\alpha$ splňující soustavu goniometrických
rovnic

(2) $\cos \alpha = \frac{x}{r} , \sin \alpha = \frac{y}{r}$ ,

dosazením do (1) máme

$z = r (\cos \alpha + \mathrm{i} \sin \alpha)$ .

Tento tvar nazýváme goniometrickým (nebo též polárním) tvarem komplexního čísla $z \ne 0$ .

Představme si to geometricky, tj. v eukleidovské rovině opatřené kartéskou soustavou souřadnic.
Uvažované komplexní číslo $z = x + y \mathrm{i}$ odpovídá bodu $Z=[x, y]$ , kompl. číslo $|z| = |z| + 0 \mathrm{i}$
bodu $A = [|z|, 0]$ . kompl. č. $0 = 0 + 0 \mathrm{i}$ počátku $P = [0, 0]$ soustavy souřadnic.
Bod $Z$ je jistě v mnoha geometrických vztazích k bodu $A$ . Avšak zejména je obrazem bodu $A$ při otočení
(v kladném smyslu), jehož středem je bod $P$ a úhlem otočení úhel velikosti $\alpha$ splňující soustavu (1).

Martin123

ale kolegovi marnesovi vysli pomerne "pekne" korene, zatial co moje korene su v tvare sucinu cosinusu, sinusu a imaginarnej jednicky, ako potom previest korene mojho tvaru na tvar v akom ich zapisal marnes? odkial vieme vyvodit rovnost $2[cos\frac{2\pi}{5}+i sin \frac{2\pi}{5}]=2i$ ??

Rumburak

↑ marnes:

Ahoj.
Obávám se, že ke kořenu x = 2 ses dostal dvakrát .
A že by původní rovnice $x^{5}=32$ měla kořeny $\pm 2i$ , to se mi také nezdá . :-)

Martin123 · 29. 01. 2016 15:33

nejako som sa stratil.. tak ako to ma byt?

Rumburak

↑ Martin123:

Předpokládám, že kolega ↑ marnes: uvede věc na pravou míru sám. Chceš-li, můžeš si zatím
provést zkoušku dosazením kořenů do PŮVODNÍ rovnice.

Rumburak · 29. 01. 2016 16:21

↑ marnes:

Já jsem autora dotazu pochopil tak, že ze všech eventuálně možných kořenů rovnice $x^5=32$
umí určit pouze jeden, a sice $x = 2$ .

Martin123 · 29. 01. 2016 17:06

Rumburak presne tak som to myslel ako ste ma pochopil.

jelena · 29. 01. 2016 18:45

Zdravím,

↑ marnes: to ale nebude platit, že $x$ může mít více hodnot. Pokud

x.x.x.x.x=32 a že jedno x je rovno číslu 2.
Pak tedy x.x.x.x.2=32 a x.x.x.x=16 a pak jsem nabídl své řešení.

potom každé $x$ v takovém zápisu má stejnou hodnotu a to jen $x=2$ .

↑ Martin123: prošla jsem více témat, co máš. Studuješ matematiku systematicky, jako předmět - lze upřesnit alespoň orientační typ školy? Spíš bych řekla, že probíráš některá témata jen tak ze zájmu, potom je to lepší upřesnit: bude zřejmé, že ovládání látky nenavazuje a bude vhodné doporučit něco na seznámení s problémem. Děkuji za upřesnění.

marnes · 29. 01. 2016 19:40

↑ jelena:
To zní logicky. Omluva za špatné řešení. Příspěvky smažu.

jelena · 29. 01. 2016 22:27

↑ marnes: také děkuji, že se ujasnilo. Kolega se určitě zorientuje - trošku si opráší binomické věty, komplexní čísla apod.

Al1 · 30. 01. 2016 10:15

↑ Martin123:

Ještě jednou zdravím,

řešení tvé binomické rovnice můžeš provést i graficky, kořeny tvoří totiž vrcholy pravidelného pětiúhelníku. A jestliže je jedním řešením číslo dva, maluješ pětiúhelník s vrcholem v bodě [2, 0] a ostatní vrcholy domaluješ jednoduše pomocí úhlů $\frac{360^\circ }{5}=72^\circ =\frac{2}{5}\pi$
Podívej se na obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokud bys řešil rovnici např. $x^{6}=64$ , pak řešení tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníku, který je vepsán do kružnice také o poloměru 2

Martin123

Je mozne dopracovat sa k vysledku samozrejme aj takymto sposobom. Ja by om vsak chcel vediet ako previest ten goniometricky tvar korenov na normalne cislo.

Al1 · 30. 01. 2016 17:11 — Editoval Al1 (30. 01. 2016 18:51)

↑ Martin123:

To bys musel spočítat $\cos \frac{2}{5}\pi =0,309017\ldots ; \sin \frac{2}{5}\pi=0,951057\ldots$ .

Případně se pokusit o odvození např. $\cos 72^\circ$ výpočet je zde

jelena · 30. 01. 2016 18:39

Zdravím,

↑ Al1: :-) zaokrouhlené hodnoty jsme spolu diskutovali, pokud si vzpomínám. + viz hlasování u kolegy Jarrro.

↑ Martin123: jelikož se mi dostalo vysvětlení ohledně mého dotazu ↑ příspěvek 18:, tak trochu přitvrdím :-) a) Pojem "normální čísla" má určitou definici, v tomto zadání neaplikovatelnou, jelikož je požadavek čísel komplexních. b) úloha "požaduje V mnozine $C$ najdite korene rovnice $x^5=32$ " - v čem je potom "nehezkost" řešení předložených v tématu (i ve Tvém zápisu)?

c) druhý návrh kolegy ↑ Al1: může být velmi dobrým podnětem - u některých úhlů lze odvodit goniometrické hodnoty pro použití v algebraickém zápisu (a také sestrojitelné geometricky) - viz odkaz, na fóru jsou i témata s odvozením, nebo se o odvození pokusit (návod kolegy ↑ Al1: není jediný postup) - může se hodit. Přeji zdar.

vanok · 30. 01. 2016 19:41

Pozdravujem ↑ Al1:, a tiez pekny pozitivnych Novy Rok,
Ja by som povedal skor $\cos \frac{2}{5}\pi =0,309017...; \sin \frac{2}{5}\pi=0,951057....$ aby sa zdvoraznil ich iracionalny character.
Mozno by kolegu zaujimalo, ze pravidielny 5uholnik bodov rieseni je geometricky konstruktiblny ( ako aj vsetki pravidelne 5 uholniky).

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2016 14:13

polynom

#2 27. 01. 2016 15:00

Re: polynom

#3 27. 01. 2016 15:10

Re: polynom

#4 27. 01. 2016 15:27

Re: polynom

#5 28. 01. 2016 10:25 — Editoval Rumburak (28. 01. 2016 15:10)

Re: polynom

#6 28. 01. 2016 14:25

Re: polynom

#7 29. 01. 2016 11:51 — Editoval Martin123 (29. 01. 2016 12:31)

Re: polynom

#8 29. 01. 2016 14:17 Příspěvek uživatele marnes byl skryt uživatelem marnes. Důvod: špatné řešení

#9 29. 01. 2016 15:03 — Editoval Martin123 (29. 01. 2016 15:07)

Re: polynom

#10 29. 01. 2016 15:17 — Editoval Rumburak (29. 01. 2016 16:29)

Re: polynom

#11 29. 01. 2016 15:22 — Editoval Martin123 (29. 01. 2016 15:24)

Re: polynom

#12 29. 01. 2016 15:31 — Editoval Rumburak (29. 01. 2016 15:45)

Re: polynom

#13 29. 01. 2016 15:33

Re: polynom

#14 29. 01. 2016 15:36 — Editoval Rumburak (29. 01. 2016 15:38)

Re: polynom

#15 29. 01. 2016 16:00 Příspěvek uživatele marnes byl skryt uživatelem marnes. Důvod: špatné řešení

#16 29. 01. 2016 16:21

Re: polynom

#17 29. 01. 2016 17:06

Re: polynom

#18 29. 01. 2016 18:45

Re: polynom

#19 29. 01. 2016 19:40

Re: polynom

#20 29. 01. 2016 22:27

Re: polynom

#21 30. 01. 2016 10:15

Re: polynom

#22 30. 01. 2016 17:00 — Editoval Martin123 (30. 01. 2016 17:02)

Re: polynom

#23 30. 01. 2016 17:11 — Editoval Al1 (30. 01. 2016 18:51)

Re: polynom

#24 30. 01. 2016 18:39

Re: polynom

#25 30. 01. 2016 19:41

Re: polynom

Zápatí