Matematické Fórum

John09 · 10. 06. 2016 11:57

Dobrý den, můj zadaný příklad je najít všechny kořeny od $(0,2\pi )$
Zadaná rovnice: $tgx*tgx-2tgx+1=0$
Začal jsem tak, že jsem si zavedl substituci: $S:tgx=y$
Poté mi vyšla kvadratická rovnice a kořen kvadratické rovnice mi vychází $y=1$
Vrátil jsem se zpět ke substituci $tgx=1$ a tangens x se rovná jedné v $\frac{\pi }{4}$
Což je správné řešení, ale výsledky uvádějí další řešení a to $\frac{5 }{4}\pi$ . Mně se to zdá jako nesmysl, tangens je přece definovaný jenom do $\pi$ ne? Tak jako cotangens. A tohle je víc jak $\pi$
Mají tam chybu nebo jsem něco přehlédl? Díky

gadgetka

Ahoj, Honzíku, přehlédl jsi to, že je definovaný interval všech kořenů, čili ke kořenům nepřičítáš periodu $\pi$ , proto musíš uvést i kořen z III. kvadrantu.

A tangens není definovaný jen pro $\pi$ , ale jeho perioda je $\pi$ , tzn., že kořen se opakuje po každých 180°. :)

John09 · 10. 06. 2016 12:11

↑ gadgetka: Jasně, už to chápu :D. Děkuju :)

Zároveň s dalším příkladem si nevím rady: $sinx+sin\frac{x}{2}=0$ . Také jsem zavedl substituci za $\frac{x}{2}=a$ . $sin2a+sina=0$
$2*sina*cosa+sina=0$ . Vytkl jsem $sina$ . $sina(2cosa+1)=0$
$sina=0$ - to se rovná v $k\pi$ - zpět ke substituci $x=2k\pi$ - to nesplňuje požadavek $(0,2\pi )$
$2cosa+1=0$ ---------- $cosa=-\frac{1}{2}$
$a=\frac{2}{3}\pi$ ----- zpět ke substituci $x=\frac{4}{3}\pi$
cosinus je záporný ještě ve třetím kvadrantu- $\frac{x}{2}=\frac{4}{3}\pi$
$x=\frac{8}{3}\pi$ jenže to je víc jak dvě $\pi$ . Ale je pravidlo, že když máme např. 450 stupňů, tak se od toho odečítá $2\pi$ --- Takže to vychází $\frac{2\pi }{3}$ . Jenže $\frac{2\pi }{3}$ už není vedeno v kořenech a přitom by to tam mělo být ne? To pravidlo jsem vždycky používal a nevím, proč zrovna tady se nepoužije. Tak třeba mám $\frac{5}{2}\pi$ a z toho by to mělo být $\frac{\pi }{2}$ ne?

gadgetka · 10. 06. 2016 12:17

To pravidlo, o kterém píšeš, se používá v případě, když máš dopočítat základní úhel nebo zjistit goniometrické funkce tohoto úhlu. Ale v rovnici vyšel kořen 480°, ten je větší než definiční obor funkce, čili není kořenem.

John09 · 10. 06. 2016 12:24

Aha, takže v případě pokud by byl $cos\frac{5}{2}\pi$ tak z toho normálně dostanu $cos\frac{\pi }{2}$ a vypočítám, ale pokud mi vyjde ten kořen, tak už to nedělám, pokud není požadavek na základní úhel.
Díky Gadgetko :)

gadgetka · 10. 06. 2016 12:42

... v rovnici tento požadavek určitě nebude... ;)

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2016 11:57

Goniometrické rovnice

#2 10. 06. 2016 12:04 — Editoval gadgetka (10. 06. 2016 12:06)

Re: Goniometrické rovnice

#3 10. 06. 2016 12:11

Re: Goniometrické rovnice

#4 10. 06. 2016 12:17

Re: Goniometrické rovnice

#5 10. 06. 2016 12:24

Re: Goniometrické rovnice

#6 10. 06. 2016 12:42

Re: Goniometrické rovnice

Zápatí