Matematické Fórum

Marek Mattos

Dobrý deň. Chcel by som vás poprosiť či by sme mi nepomohli s dôkazom.
Zadanie:
$\forall n\in N ; n\ge 5: 2^n > n^2$
Zatiaľ som postupoval takto: T(5)
$2^5 > 5^2$
$32 > 25$
Pravda

Nech platí T(k)
$2^k > k^2$
T(k+1)
$2^{k+1}> (k+1)^2$
$2^k \cdot 2 > k^2 + 2k +1$

A tu som skončil. Viem že sa mám dostať z T(k) ku T(k+1) ale neviem aký ďalší krok mám spraviť.
Vopred ďakujem za rady.

Elisa · 19. 10. 2016 16:44

↑ Marek Mattos:
Za $2^{k}$ dosadíš z indukčního předpokladu T(k) $k^{2}$

Marek Mattos · 19. 10. 2016 16:49

↑ Elisa:
Ale vzťah medzi $2^{k}$ a $k^{2}$ nieje rovnosť. Môžem to spraviť?

vanok · 19. 10. 2016 17:01 — Editoval vanok (19. 10. 2016 17:01)

↑ Marek Mattos:,
Indukcny krok.
Mas dokazat $2^{k+1}> (k+1)^2$ T(k+1) za predpokladu $2^k > k^2$ T(k).
T(k) po nasobenie 2mi ti da
$2.2^k > 2.k^2$ (1)
No vsak vsak $k^2>2k +1$ ti da co? Plati pre $k\ge5$ ?
Pouzi to v (1).

Marek Mattos · 19. 10. 2016 17:26

T(5)
$2^5 > 5^2$
$32 > 25$
Pravda
Nech platí T(k) pričom $k = n$
$2^k > k^2$
T(k+1)
$2^{k+1}> (k+1)^2$
$2^k \cdot 2 > k^2 + 2k +1$
$2k^{2}> k^{2}+2k+1$
$k^{2}>2k+1$
To je ako celý dôkaz?

vanok · 19. 10. 2016 17:33

↑ Marek Mattos:,
To co pises nie je dokaz.
Tvoj ciel:
Vdaka relacii (1) musis dokazat T(k+1).

Marek Mattos · 19. 10. 2016 18:06

Ďakujem za pomoc.
Môžete zamknúť túto tému.
:)

vanok · 19. 10. 2016 18:27 — Editoval vanok (20. 10. 2016 03:01)

To ty zamkni ak myslis ze mas riesenie.
Dobre pokracovanie.

Elisa · 19. 10. 2016 21:02

Indukce nerovnosti se dělá vždycky na jeden řádek? Nejde upravovat obě strany najednou? Děkuji

vanok · 19. 10. 2016 21:20

↑ Elisa:
To zavisi od postupu a metody pouzitej v cviceni.
Tu potrebne konecne upravy nie su napisane. ... tu pouzita metoda je pouzitie vhodnej nerovnosti, no chyba este jej dokaz a jej aplikacia v cviceni.

Elisa · 19. 10. 2016 22:08

Jak by se prosím důkaz ukončil správně? Děkuji

byk7 · 19. 10. 2016 22:12

↑ Elisa:
Podle indukčního předpokladu platí $2^k>k^2\ \Rightarrow \ 2\cdot 2^k>2k^2$ a teď by se nám náramně hodilo, kdyby platilo $2k^2\ge(k+1)^2$ . Platí to (za daných předpokladů)? Jak z toho plyne výsledek?

Marek Mattos · 20. 10. 2016 09:51

↑ byk7:
Za daných prepokladov myslíš že k+1=n?

vanok · 20. 10. 2016 09:59

↑ Marek Mattos:,
Nie. Precitaj si cele vlakno.

Len ako som ti uz pisal vyssie, ↑ vanok: je treba doplnit tvoj dokaz.
No vsak si napisal ↑ Marek Mattos: tak to znamena, ze mas tvoje riesenie... A teraz sa pytas o co ide.

Na realizovanie indukcbeho kroku potrebujes dokazat, ze pre $k\ge 5$ mas $2k^2\ge(k+1)^2$ .
Tak napis ako si to urobil?

Marek Mattos · 20. 10. 2016 17:13

↑ vanok:
ja som do tej svojej poslednej nerovnice dosadil iba číslo 5 a myslel som si že to stačí.
$k^{2}>2k+1$
25 > 11 platí tak som potom skončil
takže musím teraz ešte dokázať že $k\ge 5$ aj keď som na začiatku definoval že n = k a viem že n bude mať hodnoty iba nad 5?

vanok · 20. 10. 2016 17:17 — Editoval vanok (20. 10. 2016 17:18)

Nie treba to mat vseobecne.
Napr. Poslednu nerovnost napis este takto
$k^2-2k+1>2$
A potom ukazat ze to je plati ak $k\ge 5$ .

Marek Mattos · 20. 10. 2016 17:28

takže si to upravím na
$(k-1)^{2}>2$
a keďže $k\ge 5$ tak dosadím za k číslo 5
$(5-1)^{2}= 4^{2}>2$
$16>2$
pravda

Spravil som to dobre? Treba ešte niečo?

vanok · 20. 10. 2016 17:57 — Editoval vanok (20. 10. 2016 17:59)

Skor musis povedat, ze nerovnost plati lebo mas zaroven
$k>1 \pm \sqrt 2$ a $k\ge 5$ , A tak ju mozes pouzit v ton indukcnom kroku.

Marek Mattos · 20. 10. 2016 18:13

A už nič viac nieje potreba?

vanok · 20. 10. 2016 18:24 — Editoval vanok (20. 10. 2016 18:43)

↑ Marek Mattos:
Teraz mozes napisat ten dokaz.

Indukcny krok. $k\ge 5$
Mame dokazat $2^{k+1}> (k+1)^2$ T(k+1) za predpokladu $2^k > k^2$ T(k).
T(k) po nasobenie 2mi ti da
$2.2^k > 2.k^2$ (1)
No vsak vsak $k^2>2k +1$ ( to sme prave dokazali)
Tak (1) da
$2^{k+1}=2.2^k>k^2+k^2>k^2+ 2k+1=(k+1)^2$ Co je T(k+1)

Vidis co bolo treba

byk7 · 20. 10. 2016 18:25

↑ vanok: To znaménko uprostřed nemá být '=', ale '>'.

vanok · 20. 10. 2016 18:44

Ahoj ↑ byk7:,
Dakujem preklep opraveny.

Marek Mattos · 22. 10. 2016 20:31

Ďakujem za pomoc. :)

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2016 16:38 — Editoval Marek Mattos (19. 10. 2016 16:40)

Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#2 19. 10. 2016 16:44

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#3 19. 10. 2016 16:49

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#4 19. 10. 2016 17:01 — Editoval vanok (19. 10. 2016 17:01)

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#5 19. 10. 2016 17:26

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#6 19. 10. 2016 17:33

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#7 19. 10. 2016 18:06

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#8 19. 10. 2016 18:27 — Editoval vanok (20. 10. 2016 03:01)

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#9 19. 10. 2016 21:02

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#10 19. 10. 2016 21:20

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#11 19. 10. 2016 22:08

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#12 19. 10. 2016 22:12

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#13 20. 10. 2016 09:51

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#14 20. 10. 2016 09:59

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#15 20. 10. 2016 17:13

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#16 20. 10. 2016 17:17 — Editoval vanok (20. 10. 2016 17:18)

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#17 20. 10. 2016 17:28

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#18 20. 10. 2016 17:57 — Editoval vanok (20. 10. 2016 17:59)

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#19 20. 10. 2016 18:13

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#20 20. 10. 2016 18:24 — Editoval vanok (20. 10. 2016 18:43)

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#21 20. 10. 2016 18:25

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#22 20. 10. 2016 18:44

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

#23 22. 10. 2016 20:31

Re: Dôkaz matematickou indukciou (2^n > n^2)

Zápatí