Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím.
Potřeboval bych pomoci s tímto problémem.
Kulička s hmotností m je umístěna na počátek dráhy (například ). Počátek dráhy je v bodě , počáteční rychlost kuličky je nulová a je uvedena do pohybu nekonečně malým impulsem. V jakém čase se dostane do bodu , zanedbáme-li tření, odpor vzduchu apod.
Zkoušel jsem na to jít přes zákon o zachování energie a spočítal si, velikost rychlosti v bodě 2. Dále jsem zkoušel určit okamžité zrychlení pomocí tíhového zrychlení a úhlu alfa, který okamžité zrychlení svírá s osou x, neboť alfa je funkcí . Ale nikam jsem s tím nedošel.
Děkuji.
Offline
EDIT: Schoval jsem chybnou odpověď, přidávám doufejme správnou.
Offline
↑ Hašiš:
Zadání úlohy je problematické, protože na velikosti "nekonečně malého" počátečního impulsu záleží, a to významně.
Do bodu se kulička může dostat za libovolně dlouhou dobu, anebo také nikdy - právě podle velikosti impulsu, popřípadě podle velikosti počáteční výchylky. Lze akorát dostatečně přesně spočítat rychlost kuličky v daném bodě. Na to ale stačí energetická úvaha.
↑ KennyMcCormick:
Napadlo mě, že se odvození DR zkomplikuje tím, že závisí také na rychlosti kuličky. Nebo se mýlím?
Offline
Do bodu se kulička může dostat za libovolně dlouhou dobu, anebo také nikdy
Takže kdybych začínal z koncové polohy a vyslal kuličku nahoru se správnou rychlostí, zastaví se v rovnovážné poloze po nekonečném čase, je to tak?
Napadlo mě, že se odvození DR zkomplikuje tím, že závisí také na rychlosti kuličky.
Kvůli dostředivé síle?
Offline
↑ KennyMcCormick:
Ano.
Ano.
Před pěti lety zde byla podobná úloha. Jednalo se o matematické kyvadlo začínající pohyb v horní poloze.
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 75#p297975
Řešení je na konci tématu, zde to bude v aproximaci asi podobné, zejména výpočet pro dlouhé doby, kdy většina času uběhne, než se ta kulička vůbec trochu vzdálí od rovnovážné polohy.
Offline
Bude složka tíhové síly, která se podílí na vzniku , součástí dostředivé síly?
Offline
↑ KennyMcCormick:
Tomu moc nerozumím, jak to myslíš. Zda bude ve vyjádření figurovat ?
Já bych to celé počítal tak, že nejdřív bych z energetické bilance odvodil , tj. závislost absolutní hodnoty rychlosti na svislé souřadnici. Za další bych odvodil , tj. závislost délky trajektorie na svislé souřadnici (spočítat délku křivky integrálem). Pak lze z a snadno vyloučit a dostaneme dif. rovnici, která již nebude moc hezká.
I v tomto případě ale lze provést aproximaci pro malé vzdálenosti od rovnovážné polohy. Délku oblouku paraboly lze v okolí vrcholu dobře aproximovat délkou jeho průmětu na osu . Tím se to celé náramně zjednoduší a mělo by vyjít něco jako
,
.
Zde už je mimochodem vidět, že počáteční podmínka nemůže být nulová, pokud chceme dostat netriviální řešení. Anebo jinak, ke každému libovolnému času lze najít takovou počáteční podmínku, aby kulička v tomto čase nesjela až dolů.
Offline
Tomu moc nerozumím, jak to myslíš. Zda bude ve vyjádření figurovat ?
Myslel jsem to tak, jestli bude normálová složka tíhové síly součástí dostředivé síly, tj. jestli
.
Děkuju za rady k řešení, zítra se na to podívám. :)
Z čeho v tomhle případě pochází, na mikroskopické úrovni, ta dostředivá síla?
EDIT: Otázky v tomhle komentáři můžeš ignorovat, myslím, že je mi to už jasné.
Offline
Pokud bych měl kopec ve tvaru paraboly (a ne např. rouru ve tvaru paraboly, která by vynucovala dráhu kuličky přesně dráhu ve tvaru paraboly), kulička by odletěla od paraboly v kladném směru osy x v okamžiku, kdy by o̶d̶s̶t̶ř̶e̶d̶i̶v̶á̶ ̶s̶í̶l̶a̶ ̶u̶ž̶ ̶n̶e̶b̶y̶l̶a̶ ̶d̶o̶s̶t̶a̶t̶e̶č̶n̶ě̶ ̶k̶o̶m̶p̶e̶n̶z̶o̶v̶a̶n̶á̶ ̶n̶o̶r̶m̶á̶l̶o̶v̶o̶u̶ ̶s̶l̶o̶ž̶k̶o̶u̶ ̶t̶í̶h̶o̶v̶é̶ ̶s̶í̶l̶y̶ normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle.
Je to tak?
EDIT: "odstředivá síla" -> "reakce paraboly na sílu "
EDIT: "reakce paraboly na sílu " -> "normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle"
Offline
K příspěvku #10.
Zajímavá otázka. Bylo by užitečné pokusit se o nějakou analýzu. Asi záleží na počátečních podmínkách. Domnívám se, že pokud bychom kuličku na začátku příliš neurychlili, nikdy by se od parabolického kopce neodlepila. V průběhu sjíždění by tlak na dráhu asymptoticky klesal k nule. Později by kulička v podstatě volně padala podél paraboly. To je ovšem jen můj první pohled na věc, mohu se mýlit.
Offline
K dostředivé síle.
Prošel jsem tvé dřívější zápisy. Nesedí mi tam, že nejdřív uvádíš jako "sílu, kterou parabola působí na kuličku", zatímco později je , což je normálová složka tíhové síly. jsi dále využíval k výpočtu, proto z toho vyplynula moje obava o komplikaci řešení díky chybějící dostředivé síle.
Řekl bych, že to má být takto:
,
(reakce dokonale kluzké podložky je samozřejmě také normálová).
Ale normálové síly nás nemusí zajímat (pokud není dána možnost odlepení kuličky od paraboly). Je tedy třeba vzít tečnou složku tíhové síly , a tu pak rozložit na vodorovnou a svislou komponentu.
=>
Takto dojdeme ke stejnému vyjádření , jak jsi odvodil ty:
.
Co tomu říkáš?
:-)
Offline
Díky. :) Předtím, než budu psát něco dalšího: Souhlasíš, že můj výsledek () je správně, ale můj postup by měl být jiný. Chápu tě správně?
EDIT: K tomu si navíc myslím, že jsem tady: ↑ KennyMcCormick: použil termín "odstředivá síla" v chybném významu - měl jsem napsat "reakce paraboly na sílu ". Opravím to.
EDIT: Ne, měl jsem tam napsat "normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle". Znovu opraveno...
Offline
↑ KennyMcCormick:
Ano, tak jsem to myslel. Ale to "ax" nam vyslo stejne a snad spravne :)
Na terminologii odstrediva/dostrediva nejsem haklivy, hlavne kdyz se vi, o co jde.
Mel jsem (jeste mam) omezene spojeni, zitra to bude lepsi.
Offline
Díky za odpovědi. :) Takže v mém prvním komentáři je potřeba provést 2 změny:
1. není , kde je normálová složka tíhové síly, ale platí
2. Síla, která způsobuje pohyb koule v tečném směru, není výslednice sil, ale tečná složka výslednice sil.
Je to tak?
Offline
Souhlasím. Jen bych ve druhém tvrzení místo "pohyb" použil raději "zrychlení", ale určitě jsi to myslel správně.
Přidávám obrázek pro přehlednost:
- tíhová síla
- tangenciální komponenta síly (způsobující změny velikosti rychlosti hmot. bodu
- normálová komponenta tíhové síly
- dostředivá síla (způsobující změny směru pohybu hmot. bodu)
- síla reakce podložky (neboli tlak paraboly na hmotný bod)
- celková síla určující pohyb hmot. bodu
Platí:
, tj. rozklad tíhové síly do komponent N a T
, tj, pokud Fd=Fn, bude tlak na podložku nulový
, tj. rozklad výsledné síly na komponenty určující velikost a směr rychlosti
, to jsou jediné dvě "originální" síly působící na hmotný bod, které určují jeho pohyb
Obrázek je vždy užitečný :)
Například teď už si nemyslím, že máme správně vypočteno to , protože
.
Postup naznačený v příspěvku #7 by ovšem měl být ok.
Offline
Jen bych ve druhém tvrzení místo "pohyb" použil raději "zrychlení", ale určitě jsi to myslel správně.
Ano, tak jsem to myslel. :)
Takže v případě, že se těleso pohybuje po zakřivené dráze, rovnice
není
, protože výslednice sil nemíří v tečném směru.
Je to tak?
EDIT: Tzn. stačí jediná úprava v mém prvním příspěvku:
1. není , kde je normálová složka tíhové síly, ale platí
.
(+ přepočítat zbytek výpočtu)
Offline
↑ KennyMcCormick:
Ano, výslednice míří poněkud jinam, víc ke středu křivosti dráhy.
Udělal jsem výpočet přes délku křivky (paraboly). Až si najdu čas, dám ho sem. O přepočet jsem se zatím nesnažil.
Offline
OK... to můžu přepočítat já, jenom jsem se chtěl ujistit, že to přepočítávám správným způsobem, než začnu.
Offline
Zjistíme poloměr oskulační kružnice:
1. derivace funkce je
.
2. derivace funkce je
.
V bodě je poloměr kružnice
.
Velikost rychlosti v bodě je
.
, tj.
x-ová složka výslednice sil je
.
x-ová složka zrychlení tedy je
.
To by už mohlo být správně? :)
EDIT: Přidal jsem tuhle odpověď do svého prvního příspěvku.
Offline