Matematické Fórum

vanok · 16. 05. 2017 10:44

↑↑ akdar:,
Schematicky povedane.
V afinnej geometrii sa konzervuje pomer ( tam je treba rovnobeznost).
V projektivnej geometrii sa konzervuje dvojpomer. ( ako je to v situaciach vo zväzkoch..)
😄

vanok · 16. 05. 2017 14:42 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:04)

Akdar,
Mala pomoc na dokaz a oznacenia.
Uvazujme zväzok (O, ABCD) 4roch lucov.
( zväzok vrcholu O, ktore ma jednu priecku = priamku, na ktorej su body A,B,C,D).
Uvazujme dalsiu (lubovolnu) priecku zväzku ktora urci body A', B', C', D' na lucoch zväzku.
Dokazme, ze (ABCD)=(A'B'C'D'),
Preto narysujme rovnobezky cez C a C' z lucom OD =OD' ( lebo D a D' su na tom istom luci zväzku)
Prva rovnobezka urci na lucoch OA=OA' a OB=OB' body M a N ; a druha urci body M' a N'.
Ako by si to vyuzila? (Mysli na prvu vlasnost)

akdar · 16. 05. 2017 21:33 — Editoval akdar (18. 05. 2017 22:48)

Ahoj ↑ vanok:
tady je obrázek k Tvému popisu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

ale z toho jsem to neviděla, musela jsem to překreslit podobně jak jsme to měli (rovnoběžky s OA):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Potom vychází, že $(ABCD)=\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}=\frac{\frac{\overline{AO}}{\overline{MB}}}{\frac{\overline{AO}}{\overline{NB}}}=\frac{\overline{NB}}{\overline{MB}}$ obdobně $(A1B1C1D1) =\frac{\overline{N1B1}}{\overline{M1B1}}$
Z podobnosti plyne (aspoň doufám :-) ): $\frac{\overline{BO}}{\overline{B1O}} =\frac{\overline{MB}}{\overline{M1B1}}=\frac{\overline{NB}}{\overline{N1B1}} \Rightarrow \frac{\overline{NB}}{\overline{MB}}=\frac{\overline{N1B1}}{\overline{M1B1}}$
$\Rightarrow (ABCD) = (A1B1C1D1)$
Stačí to jako důkaz?

vanok · 16. 05. 2017 23:52 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:05)

↑ akdar:,
V mojom zapise vdaka prvej vlasnosti mame
$(ABCD)=\frac {\overline {CM}}{\overline {CN}}$ a tiez
$(A'B'C'D')=\frac {\overline {C'M'}}{\overline {C'N'}}$
Akoze $MNC, M'N'C$ ' su na dvoch rovnobezkach ktore v tych bodoch pretinaju zväzok $(O, ABC)$ , mame
$\frac {\overline {CM}}{\overline {CN}}=\frac {\overline {C'M'}}{\overline {C'N'}}$
Co da $(ABCD)=(A'B'C'D')$ .

Poznamka. Ty si vyuzila ine rovnobezky co ti da iny mozny dokaz... Pozor, nezabudaj, ze ide o algebricke vzdialenosti, co sa znaci ciarami nad dvojicami bodov, ako napr $\overline {CM}$ .... v laTexe sa to pise \overline {..}

vanok · 18. 05. 2017 10:52

Ahoj ↑ akdar:,
Teraz sa mozme chvilku venovat specialnemu pripadu dvojpomeru ked je rovny -1.
Povieme, ze ak (ABCD)=-1, ze ide o harmonicku stvoricu (ABCD) a ze body A a B, ako aj C a D su konjugovane.
Tiez vtedy pouzijeme aj vyraz harmonicky pomer.

akdar · 18. 05. 2017 22:43

Ahoj ↑ vanok:,
mohl by jsi mi, prosím, rozpsat $(ABCD)= \frac{\overline{CM}}{\overline{CN}}$
Čáru nad dvojicí bodů označujeme tedy vektor - jde nám nejen o velikost ale i směr :-) Opravím. Děkuji za nápovědu v TeX.

vanok · 18. 05. 2017 23:21 — Editoval vanok (19. 05. 2017 01:26)

↑ akdar:
Dobry vecer,
Len mala poznamka.
Zapis AB alebo |AB| je dlzka AB,
$\overline {AB}=b-a$ , je realne cislo.(algebricka dlzka)
O vektoroch sa v tej dobe nehovorilo ( dnes by sme mohli povedat, ze ide o vektory jednorozmerneho priestoru... ), no nam postaci vediet, ze mame nastroj ktory nam umoznuje uvazovat orientaciu useciek.

Prve cvicenie.
Ak (ABCD) je harmonicka stvorica. Najdite vsetkych 8 harmonickych stvoric vytvorenych bodmi A, B, C a D.

vanok · 20. 05. 2017 11:37

Prve cvicenie.
Ak (ABCD)=-1,tak aj (BACD) je harmonicka stvorica, lebo ....

akdar · 20. 05. 2017 20:48

Hezký večer ↑ vanok:
využiji rovnosti z #38 a tedy platí: (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA), pokud tedy (ABCD) = -1 je to první harmonická čtveřice, druhá bude pro 1/p = -1 tudíž:(ABDC) = (BACD) = (CDBA) = (DCAB)
:-)

vanok · 20. 05. 2017 21:37

👍

vanok · 21. 05. 2017 19:05 — Editoval vanok (21. 05. 2017 19:06)

Cize posledna vlasnost znamena, ze ak vymenime v konjugovane body alebo aj konjugovane dvojice harmonicka stvorica ostane harmonicka.
Naviac
$(ABCD)=\frac{\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}}{\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}}=-1$
Nam da, ze
$\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}+\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}}=0$ .

Ako sa to napise pomocou suradnic a,b,c,d?

akdar · 21. 05. 2017 23:05

↑ vanok:
$\frac{\overline{CA}}{\overline{CB}}+\frac{\overline{DA}}{\overline{DB}} = \frac{a-c}{b-c} + \frac{a-d}{b-d}$

vanok · 22. 05. 2017 00:30 — Editoval vanok (22. 05. 2017 04:14)

↑ akdar:
Ano.
$\frac{a-c}{b-c} + \frac{a-d}{b-d}=0$

Co da $2(ab+cd)=(a+b)(c+d)$ (1)

Ak vybereme A ako pociatok, $\frac 2b=\frac 1c+\frac 1d$ (2)
Co sa pise aj ako $\frac 2 {\overline {AB}} =\frac 1 {\overline {AC}}+\frac 1 {\overline {AD}}.$
Vyber pociatku v bode I prostriedku usecky AB, da $a=- b$ a z (1) dostaneme $2(-b^2+cd)=0$ ,
A po uprave
$cd=b^2$ co sa pise aj $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IA}^2=\overline {IB}^2$

vanok · 24. 05. 2017 10:53

Ahoj ↑ akdar:,
Iste si si vsimla, ze posledny vyraz $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IA}^2=\overline {IB}^2$ , nam umoznuje jednoducho "objavit" vlasnosti harmonickych stvoric.

A) Sucin $\overline {IC}.\overline {ID}$ je pozitivny, tak body C,D su umestneme na tej istej strane od bodu I ( = prostriedok usecky AB)
B) $\overline {IC}.\overline {ID}=\overline {IB}^2$ , da ze ak $IC>ID$ tak $ID<IB$ .
Cize z bodov C,D jeden je vo vnutri usecky AB a druhy je mimo nej .

Atd....( dobre by to bolo pozorovat napr. na geogebre, no si to aspon nakreslit, moze byt poucne )

Podobne aj pre zväzky mozme definovat tiez harmonicky zväzok...
Preto sa sustredime na chviku na vlasnosti takeho zväzku.

akdar · 25. 05. 2017 23:49

Zdravím ↑ vanok:
popravdě takhle upravovat a hledat vlastnosti mě nenapadlo. Zítra to dám do geogebry, tam se dá dobře hýbat s body :-)

vanok · 26. 05. 2017 00:48

Ahoj ↑ akdar:,
Vcelku dobre napredujeme. Na buduci tyzden nedudem mat internet. No len co budem ho mat, pochopitelne budeme pokracovat.

akdar · 26. 05. 2017 08:04

Ahoj ↑ vanok:
budu se těšit. Hezký týden :-)

vanok · 10. 06. 2017 23:17

Ahoj ↑ akdar:,
Ako definujeme harmonicky zväzok?

je to zväzok 4roch polopriamok v ktorom lubovolna priecka urci harmonicku stvoricu

Teraz mozme skusit nast nejake zaujimave vlasnosti takeho zväzku.

vanok · 16. 06. 2017 00:36

Nutna a postatujuca podmienka aby jeden zväzok 4roch polopriamok ( lucov) spolocneho pociatku bol harmonicky je aby jedna rovnobezka z jednym jeho lucov bola rozdelena na dve rovnake usecky tromi inymi lucmi.

Dokaz tykajuci sa vsebecne dvojpomerov nam da dokaz aj tejto vlasnosti.

( obrazok moze byt uzitocny)

(Jednoducho) dostaneme tieto dve vlasnosti :
1) V trojujolniku ABC taznica AM a rovnobezka AM' so stranou BC cez bod A tvoria harmonicky zväzok so stanami AB a AC.
2) Vnutorna osa daneho uhlu a jeho vonkajsia osa tvoria zo stranami uhla harmonicky zväzok.

Na pokracovanie...

akdar · 16. 06. 2017 22:38 — Editoval akdar (16. 06. 2017 22:40)

↑ Zdravím vanok:
pokud jsem to dobře pochopila, tak tohle (polopřímky l, h, k, i) bude harmonický svazek (polopřímka k je osa AB):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

K vlastnostem:
k 1:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

teď vidím, že je to to samé co ten první :-)
k 2:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A zase to samé :-)

Kdo na tohle přišel :-D

PS: Obrázky v mém případě nejsou užitečné, ale nutné :-)

vanok · 19. 06. 2017 12:22 — Editoval vanok (21. 06. 2017 15:38)

Ahoj ↑ akdar:,
To by bola skoda sa zastavit na tak dobrej ceste, preto budeme este trochu pokracovat ako aj teoriu a doplnime si to potom aj nejakymi cviceniami.

Teraz vymyslim dalsi pojem ( ktore iste uz ma nejake pomenovanie, no iste ma niekto pouci):
Kazdy (iste) vie co je stvoruholnok, a vie, ze to slovo ma jednu cast ="koren" vyjadrenu slovom "uhol" a to je v nom dolezita cast.
Tak podobne budem hovorit o "stvorstraniku", a tak definujem kompletny stvorstranik (=quadrilatère complet) utvar ktory je vytvoreny 4 priamkami ktore sa po dvoch pretinaju.( presnesie ziadne z nich nie su rovnobezne a ani ziadne tri neprechadzaju spolocnym bodov ).
Pozri tu prvy obrazok https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Quadril … re_complet
Tak napriklad kompletny stvorstranik ABCDEF ma 6 vrcholov
3 diagonaly AC, BD, EF ...
A teraz jedna (pekna) teorema.
V lubovolom kompletnom stvorstraniku kazda diagonala je harmonicky rozdelena druhymi dvomi
Co si myslis o dokaze?
( v odkaze co som dal vyssie su dva, ale na priklad, mozeme pouzit aj Ceva-ovu teoremu ... a tu poznas? alebo bude ju treba dokazat?)

vanok · 22. 06. 2017 18:00 — Editoval vanok (22. 06. 2017 18:02)

Doplnok.
Ceva-ova teorema.
Menelaus-ova teorema
Desargues-ova teorema.
Su to tri ( pekne) teoremy, a ak sa uz teraz neucia na strednych skolach je uzitocne si ich pripomenut napr. vdaka webu.
Alebo treba ich tu podrobne pripomenut aj z dokazmi?

Co sa tyka dalsych teorem na temu kompletnych stvorstranikov, ako Newton-ova alebo Miquel-ova tie sa najdu aj v odkaze v #71, no ak je zaujem tak ich mozeme tu dokazat ako aj teoremu z #71.

akdar · 23. 06. 2017 00:00

↑ Ahoj vanok:
tak ten důkaz jsem ještě nepobrala :-) ale ještě to zkusím
ty teorémy neznám, hledala jsem je na netu, ale tu Cevaovu jsem v zatím moc nenašla.
A dnes už to nedám :-(

vanok · 23. 06. 2017 08:13

Ahoj ↑ akdar:,
Pozri napr. tu
https://artofproblemsolving.com/wiki/in … 7s_Theorem

akdar · 24. 06. 2017 23:26

↑ Ahoj vanok:
můžu se zeptat, kde se tyto teoremy využívají? Ke konstrukci, nebo k důkazům? Nevidím za tím ten smysl - $\frac {BD} {DC} \cdot \frac {CE} {EA} \cdot \frac {AF} {FB} = 1$ - součin tří useček děleno součinem jiných tří úseček mi dá 1, nevidím v tom význam, mohl bys mi to prosím přiblížit.

Matematické Fórum

#51 16. 05. 2017 10:44

Re: Osy, pomery

#52 16. 05. 2017 14:42 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:04)

Re: Osy, pomery

#53 16. 05. 2017 21:33 — Editoval akdar (18. 05. 2017 22:48)

Re: Osy, pomery

#54 16. 05. 2017 23:52 — Editoval vanok (17. 05. 2017 23:05)

Re: Osy, pomery

#55 18. 05. 2017 10:52

Re: Osy, pomery

#56 18. 05. 2017 22:43

Re: Osy, pomery

#57 18. 05. 2017 23:21 — Editoval vanok (19. 05. 2017 01:26)

Re: Osy, pomery

#58 20. 05. 2017 11:37

Re: Osy, pomery

#59 20. 05. 2017 20:48

Re: Osy, pomery

#60 20. 05. 2017 21:37

Re: Osy, pomery

#61 21. 05. 2017 19:05 — Editoval vanok (21. 05. 2017 19:06)

Re: Osy, pomery

#62 21. 05. 2017 23:05

Re: Osy, pomery

#63 22. 05. 2017 00:30 — Editoval vanok (22. 05. 2017 04:14)

Re: Osy, pomery

#64 24. 05. 2017 10:53

Re: Osy, pomery

#65 25. 05. 2017 23:49

Re: Osy, pomery

#66 26. 05. 2017 00:48

Re: Osy, pomery

#67 26. 05. 2017 08:04

Re: Osy, pomery

#68 10. 06. 2017 23:17

Re: Osy, pomery

#69 16. 06. 2017 00:36

Re: Osy, pomery

#70 16. 06. 2017 22:38 — Editoval akdar (16. 06. 2017 22:40)

Re: Osy, pomery

#71 19. 06. 2017 12:22 — Editoval vanok (21. 06. 2017 15:38)

Re: Osy, pomery

#72 22. 06. 2017 18:00 — Editoval vanok (22. 06. 2017 18:02)

Re: Osy, pomery

#73 23. 06. 2017 00:00

Re: Osy, pomery

#74 23. 06. 2017 08:13

Re: Osy, pomery

#75 24. 06. 2017 23:26

Re: Osy, pomery

Zápatí