Matematické Fórum

Kushikiro · 08. 12. 2017 15:24

Zdravím,

abych vás uvedl do problému, zpracovávám projekt na téma dopravního proudu v matematickém modelování. Správně jsem již odvodil rovnici pro dopravní proud ze zákona zachování počtu vozidel a nyní bych rád vypracoval analytické řešení pro konstantní rychlost. Zkoušel jsem nějakou dobu na řešení přijít sám, ale chybí mi potřebná zdatnost, nebo přehlížím něco podstatného. Mohl byste mi s tím někdo pomoci i s případným vysvětlením?

$\varrho_t + (u\varrho)_x =0$

v tomto případě se tedy jedná o případ, kdy je u konstanta, takže se dá celý problém přepsat.

$\varrho_t + u(\varrho)_x =0$

x,t v indexu značí parciální derivaci dle x nebo t, $\varrho$ značí hustotu provozu závislou na x a t. Rychlost u je taktéž závislá na x a t.

Závěrečná interpretace by měla vypadat jako nějaká funkce, která se pouze posouvá, nicméně se k tomu nemohu nějak dopracovat.

Snad jsem problém popsal dostatečně. Za případné nesrovnalosti se omlouvám, ale v daném předmětu matematického modelování mi chybí patřičné základy, pro tento předmět podstatné.

pietro · 13. 12. 2017 21:51

↑ Kushikiro: ahoj, skús si tento výsledok bližšie aplikovať... Odkaz

laszky · 01. 02. 2018 22:29 — Editoval laszky (12. 03. 2018 16:22)

Reseni hledame ve tvaru
$\varrho(t,x)= g(at+bx),$
kde g je dostatecne hladka funkce. Potom
$\Rightarrow \quad \varrho_t+u\varrho_x = (a+ub)g'(at+bx)=0,$
takze napriklad
$\Rightarrow \quad a=u, \, b=-1,$
a proto
$\Rightarrow \quad \varrho(t,x)= g(ut-x).$
Konkretni tvar funkce g urcime z okrajove nebo pocatecni podminky
$\varrho(0,x)=h(x) \quad \Rightarrow \quad g(y)=\varrho(0,-y)=h(-y) \quad \Rightarrow \quad \varrho(t,x)= h(x-ut)$
$\varrho(t,0)=d(t) \quad\; \Rightarrow \!\!\quad g(y)=\varrho(y/u,0)=d(y/u) \!\!\quad \Rightarrow \!\quad \varrho(t,x)=d(t-x/u)$

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2017 15:24

Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

#2 13. 12. 2017 21:51

Re: Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

#3 01. 02. 2018 22:29 — Editoval laszky (12. 03. 2018 16:22)

Re: Parciální diferenciální rovnice - řešení pro konstantní rychlost

Zápatí