Matematické Fórum

thatsmis · 09. 02. 2018 16:53

Ahojte, mám rpoblém s týmto príkladom:

Označíme-li $\alpha, \beta ,\gamma$ vnitřní úhly v libovolném trojuhelníku ABc, potom platí pro jejich vztah následujíci rovnosti. Dokažte jejich správnost:

$\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma =\text{tg}\alpha *\text{tg}\beta *\text{tg}\gamma$

Môj postup je nasledovný (urpavujem ľavú stranu):
$\text{tg}\alpha +\text{tg}\beta +\text{tg}\gamma =$
$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \beta }{\cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$
$\frac{\cos \beta \sin \alpha +\sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$
$\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

Viem, že ak uhly v trojuholníku sú spolu $\Pi$ , tak $\alpha +\beta =\Pi -\gamma$

$\frac{\sin (\Pi -\gamma )}{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$\frac{\sin \Pi \cos \gamma -\sin \gamma \cos \Pi }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

$\frac{-(-1)\sin \gamma }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }$

Dám to na spoločného menovateľa a vyjmem pred zátvorku:

$\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$

Z tohto kroku sa neviem ďalej vymotať. Skúšala som si $cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma$ prepísať ako
$\frac{1}{2}(\cos (\alpha -\beta )+\cos (\alpha +\beta ))+\cos \gamma$

ale akokoľvek to potom upravujem, nedostanem s k tomu, čo chcem dokázať. Prosím, ak by mi niekto vedel povedať, čo robím zle. ďakujem :))

vlado_bb · 09. 02. 2018 17:05

↑ thatsmis: Vsetko je v poriadku, ides na to dobre, treba len pokracovat. Dostala si sa k tomu, ze lavu stranu si upravila na $\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }$ . Treba teda ukazat, ze

$\frac{\sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta +\cos \gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }=\text{tg}\alpha *\text{tg}\beta *\text{tg}\gamma$ .

Toto mozeme skratit vyrazom $\text{tg} \gamma$ a obe strany prenasobit vyrazom $\cos \alpha \cos \beta$ . Co dostaneme?

thatsmis · 09. 02. 2018 17:08

↑ vlado_bb: áno, toto ma nenapadlo, ale tento spôsob mi nepríde až tak elegantný, rada by som sa k tomu dostala tým, že budem stále upravovať iba tú ľavú stranu. Nechcem do toho zapájať pravú. Ak mi rozumies :D

vlado_bb · 09. 02. 2018 17:10

↑ thatsmis: Rozumiem, mne sa to sice nezda elegantnejsie, ale ide to aj tak. Staci uvazit, ze $\gamma = \pi - (\alpha +\beta)$ .

thatsmis · 09. 02. 2018 17:12

↑ vlado_bb: to ma tiež napadlo, ale ako mi to pomôže ? potrebujem tie dva kosínusy v zátvorke sčítať, ale neviem ako nato, keď je tam násobok dvoch. :(

vlado_bb · 09. 02. 2018 17:18

↑ thatsmis: Len si pekne rozpis ten $\cos \gamma$ a nebudes verit vlastnym ociam.

thatsmis · 09. 02. 2018 17:23

↑ vlado_bb: jeeeeeeej, ďakujeeem

Peter_CSR · 09. 02. 2018 20:12

heh, našiel som tretie riešenie, ale je v podstate len ekvivaletné s vlado_bb :)

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2018 16:53

Rovnost velikosti uhlu

#2 09. 02. 2018 17:05

Re: Rovnost velikosti uhlu

#3 09. 02. 2018 17:08

Re: Rovnost velikosti uhlu

#4 09. 02. 2018 17:10

Re: Rovnost velikosti uhlu

#5 09. 02. 2018 17:12

Re: Rovnost velikosti uhlu

#6 09. 02. 2018 17:18

Re: Rovnost velikosti uhlu

#7 09. 02. 2018 17:23

Re: Rovnost velikosti uhlu

#8 09. 02. 2018 20:12

Re: Rovnost velikosti uhlu

Zápatí