Matematické Fórum

vanok · 20. 03. 2018 17:48

Pozdravujem,
Mala otazka.
Co viete o barycentrickych suradniciach?
Kedy a na akej urovni ste sa o tomto pojme dozvedeli?

laszky · 20. 03. 2018 17:59

Zdrastvujem. VS, 3.rocnik.

vanok · 20. 03. 2018 19:09 — Editoval vanok (21. 03. 2018 09:12)

Ahoj ↑ laszky:,
Ano, ale v akom ramci?
A co vies o barycentrickyrh rovnicach?
Ake problemy vies riesit?

vanok · 21. 03. 2018 09:10 — Editoval vanok (27. 02. 2021 11:15)

Pridam tu, co iste kazdy vie.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

V minulom storoci sa tento pojem vyucoval uz aj na SS. Niekto ma na to spomienky?

Pripomenme definiciu v pripade afinnej roviny. ( Def. je tak platna aj v euklidovskej rovine).
Nech $A,B,C$ su tri body roviny ktore nie su na jednej priamke. Potom trojica $(A,B,C)$ sa vola referencny trojuholnik.
Potom bod $M$ tejto roviny, trojica $(x,y,z)$ taku, ze $x+y+z\ne 0$ a $x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{BM}+z\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ sa vola
barycentrum vazenych bodov $(A,x);(B,y);(C,z)$ .

Je jasne, ze trojica $(x,y,z)$ ako aj trojica $(kx,ky,kz)$ definovana ako nenulovy nasobok predoslej vyhovuje danej definicii. ( cize barycentrum nie je jednoznacne urcene, a ho budeme volat barycentricke suradnice bodu $M$ ).
Niekedy moze byt prakticke vybrat take barycentricke suradnice, ze $x+y+z=1$ , vtedy hovorime o normalizovanych barycentrickych suradniciach bodu $M$ .

Na pokracovanie.

vanok · 22. 03. 2018 07:25 — Editoval vanok (27. 02. 2021 11:18)

Pokracovanie.

Lahko odvodime,ze pre lubovolny bod roviny $O$ plati ekvivalentne
$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=(x+y+z)\overrightarrow{0M}$ .

Pochopitelne, lahko sa sa daju vyjadrit vzorce ako prejt z afinnych suradnic do barycenttickych a opacne.
Urcite to viete urobit
Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

\

Na pokracovanie...

vanok · 23. 03. 2018 10:28 — Editoval vanok (25. 03. 2018 07:08)

Pokracovanie 2.
Tak teraz je jasne pre kazdeho, ze body roviny vzladom k referecnemu trojuholniku $(A,B,C)$ z barycentrickymi suradnicami $(x,y,z)$ su take, ze $x+y+z\ne 0$ .
Tiez je bezne oznacit normalizovane barycentricke suradnice taketo bodu $(x:y:z)$

Teraz si polozme otazku: na co moze sluzit rovnost $x+y+z=0$ ?
Je zaujimave konstatovat, ze pre trojicu $(x,y,z)$ realnych cisiel taku, ze $x+y+z=0$ vektor $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}$ je nezavisly od bodu M.
Kontrola

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A reciprocne pre kazdy vektor $\overrightarrow{v}=y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}$ ho vieme napisat vo forme $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}$ kde $x+y+z=0$

Co tiez znamena ze $\overrightarrow{v} \mapsto (x,y,z)$ je bijektivna aplikacia. Tiez tato trojica sa vola barycentrike suradnice vektoru $\overrightarrow{v}$ ....

Na pokracovanie

vanok · 25. 03. 2018 07:05 — Editoval vanok (25. 03. 2018 07:07)

Pokracovanie 3.
Pripomeniem este ze v euklidovskej orientovanej rovine mozme vyjadrit orientovanu plochu trojuholnika MNP vyrazom $\frac 12 [\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}]$ kde $[.,.]$ je determinant vektorov v ortonormalnej priamo orientovanej baze.

Da sa dokazat, ze: Nech $(A,B,C)$ je referencny trojuholnik v afinnej euklidovskej orientovanej rovine. Trojica $(x,y,z)$ baryceentrickych suradnic bodu $M$ je umerna trojici orientovanych ploch $$ pl(BCM),pl(CAM),pl(ABM) $$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Na pokracovanie

vanok · 26. 03. 2018 21:38

Pokracovanie 4
Tu najdete ten slubeny dokaz

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Teraz mate vsetko aby ste vedeli nast, vdaka pojmom co som vam pripomenul, ze v trojuholniku ABC ( v euklidovskej rovine) nast jeden vnutorny bod taky, aby sucet ich vzdialenosti na druhu od stran trojuholnika $(A,B,C)$ bol minimalny.
Tento sa vola Lemoine-ov bod. To vam necham radost urobit.

V buducom pokracovani osviezim vase spomienky o barycentrickych priamkach.

vanok · 27. 03. 2018 22:26

Pokracovanie 5.
Pre kontrolu tu najdete odpoved na Lemoine-on bod.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Na pokracovanie si pripomenme, polynome $P \in \Bbb R [X,Y,Z]$ je homogenny stupna $n$ ak mame $P(TX,TY,TZ)=T^n P(X ,Y,Z)$ , kde $T$ est realne nenulove cislo.

vanok · 13. 04. 2018 23:08

Pokracovanie 6.
Konstatujeme, ze $P(tx,ty,tz )=0 \Leftrightarrow P(x,y,z)=0$ ....
A tak mnozina bodov M, barycentrickych suradnic (x,y,z) pre ktore plati P(x,y,z)=0 je dobre definovana (vsak su nezavysle od roznych barycentrickych suradnic toho isteho bodu). Mnozine takych bodov hovorime, ze $P(X,Y, Z)=0$ je jej barycentricka rovnica.
Je dolezite vediet prest z kartezianskych rovnic k barycentrickym a na opak.
Iste viete ako na to.

vanok · 14. 04. 2018 21:51 — Editoval vanok (27. 02. 2021 11:20)

Pokracovanie 7
Odpoved na posleddny riadok ↑ vanok:.
Ak GMB popisane v pokracovani 6 ma kartesiansku rovnicu $f(U,V)=0$ tak jeho barycentricka rovnica je $f(\frac Y{X+Y+Y},\frac Z{X+Y+Z} )=0$ ( co sa da upravit).
Opacne, ak $F(X,Y,Z)=0$ je barycentricka rovnice toho GMB, tak jedne jeho kartesianska rovnica je $F(1-U-V,U,V)=0$ .
Priklad pouzitia poslednych riadkov.
a)Priamka kartesianskej rovnice $U+V=1$ ma barycentricku rovnicu $\frac Y{X+Y+Z}+\frac Z{X+Y+Z}=1$ co sa po zjednoduseni $X=0$ .
b) Priamka kartesianskej rovnice $U+V=0$ ma barycentricku rovnicu ( po zjednoduseni) $Y+Z =0$ .

Ako sa pise kartezianska rovnica GMB ktore ma barycentricku rocnicu $YZ+ZX+XY=0$ ?
( neskor ukazem ze ide o kuzelosecku)
Ze je to jednoduche!

vanok · 23. 04. 2018 14:50 — Editoval vanok (29. 04. 2018 23:39)

Pokracovanie 8.
Ze ste nasli, po uprave, $U^2+V^2+UV-U-V=0$ .

Uvazujme teraz barycentricku rovnicu prveho stupna, ta je formy $aX+bY+cZ=0$ , kde a,b,c nie su vsetki nulove.
Ake GMB representuje?
Ak mame $a=b=c$ tak je ekvivalentna z $X+Y+Z=0$ , co nijaky konecnyne vzdialeny bod nesplnuje. ( V toto pripade ide o barycentricku rovnicu priamky v nekonecne, projektivnej komplecie afinnej roviny).
Tak predpokladajme ze nasa rovnica nie je takej formy.
Potom kartezianska rovnica GMB je formy $a(1-U-V)+bU+cV= (b-a)U+(c-a)V+a=0$ . ( co je skutocne kartezianska rovnica priamky lebo $b-a; c-a$ nie su obe nulove).
Podobne opacne mame [ doplnte si to]

Tak

Mnozina afinnych priamok roviny je dana barycentrickymi rovnicami formy $aX+bY+cZ=0$ , kde $a;b;c$ nie su sebe rovne.

V buducych pokracovanachi pridam ( pre istotu ) zakladne vlasnosti a potom budete moct sami riesit vdaka tomu (zaujimave) cvicenia.

vanok · 29. 04. 2018 23:38

Pokracovanie 9.

Nech M , M’ su dva rozne body barycentrickych suradnic (x,y,z;); (x’,y’,z’), potom jedna barycentricka ronica priamky MM’ je napr. $pX+qY+rZ=0$ , kde
p=yz’-y’z,
q=zx’—xz’,
r=xy’-x’y .

Pripomeniem tiez,ze
dve priamky $D,D_1$ barymetrickych rovnic
$aX+bY+cZ=0$
$a_1X+b_1Y+c_1Z=0$ su rovnobezne
ak $\begin{vmatrix} a & b &c\\ a_1& b_1 &c_1\\ 1&1&1 \end{vmatrix} =0$

Tymi istymi oznaceniami mame

Ak $D,D_1$ nie su rovnobezne, potom ich spolocny bod ma barycentricke suradnice $(bc_1-b_1c,ca_1-c_1a,ab_1-a_1b)$