Matematické Fórum

Chrochtik · 16. 12. 2019 17:54

Ahoj, zas jednou potřebuji pomoci. Konverguje tato posloupnost funkcí stejnoměrně? Člověk by řekl, že ano, protože lim v nekonečnu i v nule je 0 ale pořád se mi tam tvoří zub a funkce mi u počátku odskakuje.. Tak jak to je? :)
$arctg(nx)/(1+(nx)^2)$

Díky moc za jakoukoliv pomoc.

vlado_bb · 16. 12. 2019 18:09

↑ Chrochtik:V prvom kroku by si si mal polozit dve otazky: Konverguje tato postupnost bodovo? Ak ano, k akej funkcii?

krakonoš

↑ Chrochtik:
Ahoj

U té zadané funkce bude zřejmě opravdu problém co se týče stejnoměrné konvergence , je to vidět při výpočtu ze suprem.

jarrro · 17. 12. 2019 18:54 — Editoval jarrro (22. 04. 2021 12:32)

neplatí náhodou, že postupnosť $g_n{\left(x\right)}=f{\left(nx\right)}$ konverguje rovnomerne na intervale práve vtedy keď [mathjax]
f{\left(x\right)}=\begin{cases}c_1 & \text{ ak } x<0\\
c_2 & \text{ ak } x=0\\
c_3 & \text{ inak }\end{cases}[/mathjax]?
Lebo ak $f$ je taká, tak $g_n$ je konštantná postupnosť a teda konverguje rovnomerne triviálne.
Nech $f$ nie je takého tvaru.
Potom bodová limita postupnosti $g_n$ je takého tvaru alebo neexistuje.
Nech bodová limita existuje a označme ju $g$ .
Potom $s:=\sup\left|g_n-g\right|>0$ a nezávisí na $n$ (mení sa iba bod v ktorom sa dosahuje)
Je to tak?

krakonoš

↑ jarrro:
Ahoj.
Prosím tě, já myslela, že se má vyšetřit konvergence na R.
Vyšla jsem z toho, když zvolím x pevné a následně n pošlu do nekonečna, mělo by to všude konvergovat bodově k nule, f(x)=0
Spočtu-li derivaci zadané funkce podle x,položím ji rovnu nule, dostanu rovnici
$\frac{1-(arctgnx)\cdot 2nx}{(1+(nx)^{2})^{2}}=0$ ,
což vede k

$arctg(nx)\cdot (nx)=0,5$

jarrro · 17. 12. 2019 19:47

↑ krakonoš:áno bodová limita je 0
Teda skúma sa $\sup\left|\frac{\mathrm{arctg}{$nx$}}{1-$nx$^2}\right|$ a to nezávisí na $n$

krakonoš · 17. 12. 2019 19:51

↑ jarrro:
No vždyť jo, to je v souladu s mým postupem, že to díky té nule stejnoměrně nekonverguje na R

jarrro · 17. 12. 2019 20:10

↑ krakonoš:vlastne áno, ale konkrétna hodnota toho suprema je číslo
$\frac{\left|\mathrm{arctg}{$z$}\right|}{1+z^2}$
kde $z\cdot\mathrm{arctg}{$z$}=\frac{1}{2}$
Pri riešeni rovnice nemôžeš zameniť funkcie.

vlado_bb · 17. 12. 2019 20:49

↑ Chrochtik: Ak chces mozeme pokracovat v rieseni.

krakonoš · 17. 12. 2019 21:06

↑ jarrro:
Ještě jsem ten text upravila, abych odstranila ten problém, že neosamostatním $x$ rovnice arctg nx * nx=1/2 , aby to byl odhad suprema pro vysoké n a po limitním přechodu při n jdoucím do nekonečna by to vlastně mělo přejít už v ten číselný výraz, aspoň si to tak představuji.

jarrro · 17. 12. 2019 21:10

↑ krakonoš:posledná rovnosť neplatí.(pravdepodobne neexistuje uzavretý tvar toho suprema, ale nie som si istý)

krakonoš

↑ jarrro:
Mně z té rovnice arctg(nx)*nx=0,5 logicky vyplývá, že x bude vždy řádově konstanta/n, ten arcustangens to nijak nezvrátí. To by pak vedlo k nezávislosti na n , jak píšeš. Asi se to musí vzít jen obecně, že tedy suprema nepůjdou k nule.

Nebo to vzít sporem, kdyby šla suprema k nule, tak budou ve sporu ty dvě rovnice jak uvádíš s tou proměnnou z.

jarrro · 18. 12. 2019 05:03

↑ krakonoš:áno x=konštantna/n, ale konštanta sa (pravdepodobne) nedá zapísať v uzatvorenom tvare (teda použitím konečného počtu elementárnych funkcií a operácií)

vlado_bb · 18. 12. 2019 08:40

↑ Chrochtik: Prosim ta, nic si nerob z veci, ktore tu vidis, uloha je extremne jednoducha, ak mas zaujem o doriesenie, pokojne sa ozvi.

jarrro · 18. 12. 2019 09:01

↑ vlado_bb:ahoj kto píše že je zložitá?
už je dávno vyriešená

krakonoš · 18. 12. 2019 11:02

↑ jarrro:
Ahoj
Tam bude nejrychlejší dosadit za arctg z výraz 1/(2z), a kdyby $sup (\frac{1}{2z(1+z^{2})})$ mělo jít k nule , tak to bude ve sporu s tím, že $arctg(z)\cdot z=0,5$

krakonoš · 19. 12. 2019 12:56

↑ vlado_bb:
Vlado a jaké řešení napadlo tebe samotného?Takédokázat sporem, že suprema nemohou jít k nule nebo ještě nějaké jiné?
🎄🎁🐗

vlado_bb · 19. 12. 2019 13:02

↑ krakonoš: $x=\frac 1n, d_{sup}(f_n,0) \ge \frac{\pi}{8}$ . Ide to z hlavy, bez akehokolvek pisania.

Rumburak · 19. 12. 2019 14:39

↑ Chrochtik:
Ahoj.

Začni tím, že se zamysliš nad průběhem funkce arctg.

MichalAld

Bez složitého počítání a analyzování - má li funkce konvergovat stejnoměrně, tak pro hodně velká n musí být funkční hodnota menší než něco pro každé x.

Když si (čistě náhodou) zvolím x takové, že bude zrovna 1/n,

tak dostanu funkční hodnotu
$arctg(n/n)/(1+(n/n)^2) = arctg(1)/2$
což je něco kolem 1/2, a žádnou volbou n nezařídím aby to bylo menší. Takže to stejnoměrně nekonverguje.

Aspoň teda myslím...(teď koukám, že vlado_bb na to vlastně šel stejně)

krakonoš

↑ MichalAld:
Ahoj.
No to je vlastně to, co udělal Vlado, protože při jiných mocninách n to s rostoucím n jde k nule, jedině takhle to zůstane konstantní. Já jedině použila derivaci a pak sporem dokázala, že to nemůže jít k nule, jinak by to bylo v rozporu s podmínkou pro maximum.
Někdy se nevyplácí použít rychle mechanický postup, jde to rychleji jinou cestou.

Matematické Fórum

#1 16. 12. 2019 17:54

Stejnoměrná konvergence

#2 16. 12. 2019 18:09

Re: Stejnoměrná konvergence

#3 16. 12. 2019 20:01 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 14:25)

Re: Stejnoměrná konvergence

#4 17. 12. 2019 18:54 — Editoval jarrro (22. 04. 2021 12:32)

Re: Stejnoměrná konvergence

#5 17. 12. 2019 19:36 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 21:18)

Re: Stejnoměrná konvergence

#6 17. 12. 2019 19:47

Re: Stejnoměrná konvergence

#7 17. 12. 2019 19:51

Re: Stejnoměrná konvergence

#8 17. 12. 2019 20:10

Re: Stejnoměrná konvergence

#9 17. 12. 2019 20:49

Re: Stejnoměrná konvergence

#10 17. 12. 2019 21:06

Re: Stejnoměrná konvergence

#11 17. 12. 2019 21:10

Re: Stejnoměrná konvergence

#12 17. 12. 2019 22:11 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 23:45)

Re: Stejnoměrná konvergence

#13 18. 12. 2019 05:03

Re: Stejnoměrná konvergence

#14 18. 12. 2019 08:40

Re: Stejnoměrná konvergence

#15 18. 12. 2019 09:01

Re: Stejnoměrná konvergence

#16 18. 12. 2019 11:02

Re: Stejnoměrná konvergence

#17 19. 12. 2019 12:56

Re: Stejnoměrná konvergence

#18 19. 12. 2019 13:02

Re: Stejnoměrná konvergence

#19 19. 12. 2019 14:39

Re: Stejnoměrná konvergence

#20 19. 12. 2019 15:19 — Editoval MichalAld (19. 12. 2019 15:22)

Re: Stejnoměrná konvergence

#21 19. 12. 2019 15:24 — Editoval krakonoš (19. 12. 2019 15:32)

Re: Stejnoměrná konvergence

Zápatí