Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 12. 2019 17:54

Chrochtik
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Stejnoměrná konvergence

Ahoj, zas jednou potřebuji pomoci. Konverguje tato posloupnost funkcí stejnoměrně? Člověk by řekl, že ano, protože lim v nekonečnu i v nule je 0 ale  pořád se mi tam tvoří zub a funkce mi u počátku odskakuje.. Tak jak to je? :)
$arctg(nx)/(1+(nx)^2)$

Díky moc za jakoukoliv pomoc.

Offline

 

#2 16. 12. 2019 18:09

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ Chrochtik:V prvom kroku by si si mal polozit dve otazky: Konverguje tato postupnost bodovo? Ak ano, k akej funkcii?

Offline

 

#3 16. 12. 2019 20:01 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 14:25)

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ Chrochtik:
Ahoj

U té zadané funkce bude zřejmě opravdu problém co se týče stejnoměrné konvergence , je to vidět při výpočtu ze suprem.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#4 17. 12. 2019 18:54 — Editoval jarrro (22. 04. 2021 12:32)

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

neplatí náhodou, že postupnosť $g_n{\left(x\right)}=f{\left(nx\right)}$konverguje rovnomerne na intervale práve vtedy keď [mathjax]
f{\left(x\right)}=\begin{cases}c_1 & \text{ ak } x<0\\
c_2 & \text{ ak } x=0\\
c_3 & \text{ inak }\end{cases}[/mathjax]
?
Lebo ak $f$ je taká, tak $g_n$ je konštantná postupnosť a teda konverguje rovnomerne triviálne.
Nech $f$ nie je takého tvaru.
Potom bodová limita postupnosti $g_n$ je takého tvaru alebo neexistuje.
Nech bodová limita existuje a označme ju $g$.
Potom $s:=\sup\left|g_n-g\right|>0$ a nezávisí na $n$ (mení sa iba bod v ktorom sa dosahuje)
Je to tak?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 17. 12. 2019 19:36 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 21:18)

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ jarrro:
Ahoj.
Prosím tě, já myslela, že se má vyšetřit konvergence na R.
Vyšla jsem z toho, když zvolím x pevné a následně n pošlu do nekonečna, mělo by to všude konvergovat bodově k nule, f(x)=0
Spočtu-li derivaci zadané funkce podle x,položím ji rovnu nule, dostanu rovnici
$\frac{1-(arctgnx)\cdot 2nx}{(1+(nx)^{2})^{2}}=0$,
což vede k

$arctg(nx)\cdot (nx)=0,5$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#6 17. 12. 2019 19:47

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ krakonoš:áno bodová limita je 0
Teda skúma sa $\sup\left|\frac{\mathrm{arctg}{\(nx\)}}{1-\(nx\)^2}\right|$a to nezávisí na $n$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 17. 12. 2019 19:51

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ jarrro:
No vždyť jo, to je v souladu s mým postupem, že to díky té nule stejnoměrně nekonverguje na R


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#8 17. 12. 2019 20:10

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ krakonoš:vlastne áno, ale konkrétna hodnota toho suprema je číslo
$\frac{\left|\mathrm{arctg}{\(z\)}\right|}{1+z^2}$
kde $z\cdot\mathrm{arctg}{\(z\)}=\frac{1}{2}$
Pri riešeni rovnice  nemôžeš zameniť funkcie.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 17. 12. 2019 20:49

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ Chrochtik: Ak chces mozeme pokracovat v rieseni.

Offline

 

#10 17. 12. 2019 21:06

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ jarrro:
Ještě jsem ten text upravila, abych odstranila ten problém, že neosamostatním $x$ rovnice arctg nx * nx=1/2 , aby to byl odhad suprema pro vysoké n a po limitním přechodu při n jdoucím do nekonečna by to vlastně mělo přejít už v  ten číselný výraz, aspoň si to tak představuji.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#11 17. 12. 2019 21:10

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ krakonoš:posledná rovnosť neplatí.(pravdepodobne neexistuje uzavretý tvar toho suprema, ale nie som si istý)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#12 17. 12. 2019 22:11 — Editoval krakonoš (17. 12. 2019 23:45)

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ jarrro:
Mně z té rovnice arctg(nx)*nx=0,5 logicky vyplývá, že x  bude vždy řádově konstanta/n, ten arcustangens to nijak nezvrátí. To by pak vedlo k nezávislosti na n , jak píšeš. Asi se to musí vzít jen obecně, že tedy suprema nepůjdou k nule.

Nebo to vzít sporem, kdyby šla suprema k nule, tak budou ve sporu ty dvě rovnice jak uvádíš s tou proměnnou z.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#13 18. 12. 2019 05:03

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ krakonoš:áno x=konštantna/n, ale konštanta sa (pravdepodobne) nedá zapísať v uzatvorenom tvare (teda použitím konečného počtu elementárnych funkcií a operácií)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#14 18. 12. 2019 08:40

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ Chrochtik: Prosim ta, nic si nerob z veci, ktore tu vidis, uloha je extremne jednoducha, ak mas zaujem o doriesenie, pokojne sa ozvi.

Offline

 

#15 18. 12. 2019 09:01

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ vlado_bb:ahoj kto píše že je zložitá?
už je dávno vyriešená


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#16 18. 12. 2019 11:02

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ jarrro:
Ahoj
Tam bude nejrychlejší dosadit za arctg z výraz 1/(2z), a kdyby $sup (\frac{1}{2z(1+z^{2})})$ mělo jít k nule , tak to bude ve sporu s tím, že $arctg(z)\cdot z=0,5$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#17 19. 12. 2019 12:56

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ vlado_bb:
Vlado a jaké řešení napadlo tebe samotného?Takédokázat sporem, že suprema nemohou jít k nule nebo ještě nějaké jiné?
🎄🎁🐗


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#18 19. 12. 2019 13:02

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ krakonoš:$x=\frac 1n, d_{sup}(f_n,0) \ge \frac{\pi}{8}$. Ide to z hlavy, bez akehokolvek pisania.

Offline

 

#19 19. 12. 2019 14:39

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ Chrochtik:
Ahoj.

Začni tím, že se zamysliš nad průběhem funkce arctg.

Offline

 

#20 19. 12. 2019 15:19 — Editoval MichalAld (19. 12. 2019 15:22)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4173
Reputace:   111 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

Bez složitého počítání a analyzování - má li funkce konvergovat stejnoměrně, tak pro hodně velká n musí být funkční hodnota menší než něco pro každé x.


Když si (čistě náhodou) zvolím x takové, že bude zrovna 1/n,

tak dostanu funkční hodnotu
$arctg(n/n)/(1+(n/n)^2) = arctg(1)/2$
což je něco kolem 1/2, a žádnou volbou n nezařídím aby to bylo menší. Takže to stejnoměrně nekonverguje.

Aspoň teda myslím...(teď koukám, že vlado_bb na to vlastně šel stejně)

Offline

 

#21 19. 12. 2019 15:24 — Editoval krakonoš (19. 12. 2019 15:32)

krakonoš
Příspěvky: 1105
Reputace:   33 
 

Re: Stejnoměrná konvergence

↑ MichalAld:
Ahoj.
No to je  vlastně to, co udělal Vlado, protože při jiných mocninách n to s rostoucím n jde k nule, jedině takhle to zůstane konstantní. Já jedině použila derivaci a pak sporem dokázala, že to nemůže jít k nule, jinak by to bylo v rozporu s podmínkou pro maximum.
Někdy se nevyplácí použít rychle mechanický postup, jde to rychleji jinou cestou.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson