Matematické Fórum

stuart clark · 25. 01. 2020 16:14

If $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ and $f(x)|\leq 1$ for $x\in[-1,1]$ . Then maximum value of $|a|+|b|+|c|+|d|$ is

jardofpr

Hi ↑ stuart clark:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stuart clark · 10. 02. 2020 08:45

Thanks ↑ jardofpr:

can you explain me in detail.

jardofpr · 10. 02. 2020 23:23

↑ stuart clark:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ jardofpr:
Ahoj
Já jsem uvažovala podle podmínek $f(1)=|(b+d)+(a+c)|<=1$
$f(-1)=|(b+d)-(a+c)|<=1$
$f(0)=|d|<=1$
Označím-li $x=b+d$
$y=a+c$
Dostávám podmínky
$|x+y|<=1$
$|x-y|<=1$
Z toho jsem vydedukovala, že $|x|+|y|<=1$
Tedy $|b+d|+|a+c|<=1$
Pak už vidím , že největší naději má situace, kdy a=k & c=-(k-1), (vzhledem k tomu ,že musí být $|d|<=1$ ) a snažím se zvolit co možná nejvyšší k, abych však dodržela podmínku omezenosti funkce podle zadání.Nevidím ale jinou možnost, než si vysledovat na intervalu <0;1> zda pro konkrétní k budou ještě spněny podmínky omezenosti .Taky mi připadá, že k=4 je to maximální , které by mohlo vyhovovat, když obecně zkoumám průběh funkce $kx^{3}-(k-1)x$ .
Když tuto funkci zderivuji a položím ji rovnu nule, dostanu body $+-\sqrt{\frac{k-1}{3k}}=x_{1;2}$
Pro k=4 je výraz roven +-1/2
Pro k=5 je roven +-0,51
Limitně je výraz roven +-0,577, pokud uvažuji kladné hodnoty, ta funkce je rostoucí.
Ta polovina pro k=4 je však klíčová, protože má být $|x\cdot (kx^{2}-(k-1))|<=1$ , Tady už je vidět ,že k=5 už bude moc vysoké, tedy vyhovuje maximálně k=4.

jardofpr · 12. 02. 2020 13:52

ahoj ↑ krakonoš:

pekny postup ale zda sa mi ze je dost problematicke sa vymotat z toho korektne tym smerom ze
uz sa uvazuje len polynom s neparnymi mocninami $x$ .

|d|<= 1 sa mi nezda ako dostatocny argument na polozenie b=d=0
teda mozno za tym nejaky pevnejsi dovod mas len o nom nepises

stuart clark · 15. 02. 2020 15:47

Thanks ↑ jardofpr:

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2020 16:14

Maximum value

#2 03. 02. 2020 22:18 — Editoval jardofpr (03. 02. 2020 22:19)

Re: Maximum value

#3 10. 02. 2020 08:45

Re: Maximum value

#4 10. 02. 2020 23:23

Re: Maximum value

#5 11. 02. 2020 15:17 — Editoval krakonoš (11. 02. 2020 21:33)

Re: Maximum value

#6 12. 02. 2020 13:52

Re: Maximum value

#7 15. 02. 2020 15:47

Re: Maximum value

Zápatí