Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 03. 2020 13:31

kastanek
Příspěvky: 75
Škola: G
Pozice: student
Reputace:   
 

Dělitelnost jedenácti

Nevíte, jak dokázat pravidlo pro dělitelnost jedenácti? Pokud ho neznáte, zkusil bych ho zapsat asi takto:
$\left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \cdot a_i \right) \Big| 11 \Rightarrow \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}\, \Big| \, 11,\,\mathrm{kde}\space  a_0, a_1,...,a_n \in \mathbb{N}_0,\space a_n \not= 0$
a $\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$ je označení pro  (n+1)-ciferné číslo.
Mimochodem, opačná implikace asi platí také, že?

Offline

 

#2 07. 03. 2020 14:01 — Editoval vanok (07. 03. 2020 14:04)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Ahoj ↑ kastanek:,
Najprv mala poznamka:  tvoj zapis je nestandartny.
Bezne sa pise $11|n$ pre 11 deli cislo n.   ( a nie $ n|11$

Inac ten tvoj dokaz iste dokazes aj sam urobit.   
Staci konstatovat, ze $10 \equiv -1 $ $(\mod 11)$.  A potom to vyuzit. Tak mas

$10^2\equiv (-1)^2$. $(\mod 11)$, cize.....pokracuj!

( pripominam, ze staci vediet $a\equiv b $ $(\mod 11)$ znamena, ze prirodzene a-b je delitelne 11-tymi ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 07. 03. 2020 14:13

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Nemáš opačne 11tku a číslo? Ak áno tak
$\sum_{i=0}^{n}10^{i}{a_{i}}=\sum_{i=0}^{n}{\(-1\)^{i}a_{i}}+\sum_{i=0}^{n}{\(10^{i}-\(-1\)^{i}\)a_{i}}
$
pričom každý koeficient$10^{i}-\(-1\)^{i}$je deliteľný
$10-\(-1\)=11$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 07. 03. 2020 14:15

laszky
Příspěvky: 2247
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:↑ kastanek:

Ahoj, ja si popravde moc nepamatuju, ze bychom $a\equiv b\; (\mod 11)$ pouzivali na stredni.

Zkusil bych se tomu vyhnout (ikdyz je to v podstate to same) a napsal bych si

$\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} = \sum_{i=0}^n 10^ia_i = \sum_{i=0}^n (11-1)^ia_i = \cdots $

Z binomicke vety by to pak jiz melo byt lehke dokazat ;-)

Offline

 

#5 07. 03. 2020 14:29

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Servus ↑ laszky:,
No mame podobne myslienky.  A tiez aj binomicka veta sa na strednej skole, zda sa mi, sa uci len v pripade n=2 a n=3.

To asi preto sa to kriterium im dava bez dokazu....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 07. 03. 2020 14:56 — Editoval surovec (07. 03. 2020 14:57)

surovec
Příspěvky: 727
Škola: SPŠ
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

 ↑ jarrro:
Hezký...

Offline

 

#7 07. 03. 2020 15:03

kastanek
Příspěvky: 75
Škola: G
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:
Přiznám se, že tomu zápisu nerozumím ($a \equiv b$ znamená a-b? Proč tedy nepsat rovnou mínus?). Jinak binomická věta se většinou na středních školách bere (asi ne na uměleckých, zdravotních apod.).
↑ jarrro:
Krátké, elegantní. Díky!
↑ laszky:
No, "lehké dokázat"... :-)
Binomický rozvoj by byl v každém sčítanci té sumy a pak jednotlivé členy v jednotlivých rozvojích sčítat, to mi nepřipadá jednoduché. Nebo jsi to myslel nějak jednodušeji, co v tom teď nevidím?

Offline

 

#8 07. 03. 2020 15:19 — Editoval misaH (07. 03. 2020 15:26)

misaH
Příspěvky: 12928
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Samozrejme, že sa to u nás na SŠ neučí...

Ináč ten znak v (trochu) iných súvislostiach znamená totožnosť (už ZŠ).


//forum.matematika.cz/upload3/img/2020-03/90767_20200307_151815.jpg

Offline

 

#9 07. 03. 2020 15:23

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Ahoj ↑ kastanek:,
Len mala poznamka, s tym $a \equiv b$ $( \mod 11)$ sa pracuje ako zo zvyskami po deleni 11, co sa tyka scitania a nasobenia.  ( no skutocne sa to neuci v dnes na SS, i ked je to jednoduche).

A v kazdom dokaze, z tych co su tu navrhnute, podobny problem.  ( co sa tyka veci ucenych na strednej skole). 
Napr. Aj v dokaze od kolegu ↑ jarrro: ( pozdravujem)  ked pise
$10^{i}-\(-1\)^{i}$ je delitelny $10-\(-1\)=11$, je to nedokazane v jeho peknom prispevku. 

Ako vidis, je v takychto dokazoch tazko ostat v ramci strednej skoly.   

No neskor na vysokoj skole to budes mat skutocne dokazane.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 07. 03. 2020 15:25

laszky
Příspěvky: 2247
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Offline

 

#11 07. 03. 2020 15:37 — Editoval kastanek (07. 03. 2020 15:40)

kastanek
Příspěvky: 75
Škola: G
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:
Tak jarrro to tam nemá dokázané, ale to je vcelku jasné, že je to vždy dělitelné 11...
↑ laszky:
Aha, jasné, také velmi pěkné...

A stejně by se asi dokazovala i dělitelnost sedmi, i když tam by to bylo formálně o dost komplikovanější...

Offline

 

#12 07. 03. 2020 21:16

jarrro
Příspěvky: 5402
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:vychádzal som z toho, že je to špeciálny prípad $\(a-b\)\sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}b^{k}}
=\sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-k}b^k}-\sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}b^{k+1}}=\nl
=\sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-k}b^k}-\sum_{k=1}^{n}{a^{n-k}b^{k}}=a^n+\(\sum_{k=1}^{n-1}{a^{n-k}b^k}\)-\(\sum_{k=1}^{n-1}{a^{n-k}b^{k}}\)-b^n=\nl
=a^n-b^n$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#13 07. 03. 2020 21:55 — Editoval vanok (07. 03. 2020 21:56)

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Ahoj ↑ jarrro:,
Vsak ano. 
No pre stredoskolaka to nie je to to najprirodzenejsie.   
No ale aj praca mod 11 je  tiez pre niektorych prirodzena a pre inych nie. 

Co si myslis o pouziti tohto : 1 , 10  , 100  1000, ... sa pise mod 11
1; -1 , 1, -1,...

( aj na to musia cakat na vysoku skolu?)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 07. 03. 2020 21:57

misaH
Příspěvky: 12928
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:

Žiadne modulo sa na stredných školách neučí.

Offline

 

#15 07. 03. 2020 23:09

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ misaH:,
Skutocne?
A co meranie casu?
Napr. 
3 h popoludni a 15 h.
Potom
Uhlove miery pre orientovane uhly. 

A tiez su ine naznaky.  Ako vlasnosti parnych  a neparnych  cisiel. 
( niektori stredoskolak vedia pouzit aj situacie mod 3, i ked asi len na olympiadach....)

No tak ci tak, niektore dokazy treba nechat pre vysoku skolu.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 07. 03. 2020 23:15 — Editoval Ferdish (07. 03. 2020 23:16)

Ferdish
Zablokovaný
Příspěvky: 4173
Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
Pozice: vedecký pracovník
Reputace:   81 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:
Ako náznaky áno, ale komplexnejšie podanie modula poťažmo kongurencií sa na strednej škole (gymnaziálneho charakteru) nepreberá.

Osobne si spomínam na operácie DIV a MOD aj to len čísla 10 v rámci hodín informatiky, tie som však mal iba v prvom ročníku, ďalej už nie (možno to viac mali vysvetlené spolužiaci, ktorí študovali so zameraním na informatiku).

A to bol prosím pekne rok 2005.

Offline

 

#17 07. 03. 2020 23:35

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

Pozdravujem ↑ Ferdish:,
Preto som napisal, ze niektore dokazy sa robia iba na vysokej skole.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 07. 03. 2020 23:51 — Editoval Ferdish (07. 03. 2020 23:51)

Ferdish
Zablokovaný
Příspěvky: 4173
Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
Pozice: vedecký pracovník
Reputace:   81 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ vanok:
Dovolím si pozmeniť slovíčko "niektoré" na slovné spojenie "takmer všetky".

Offline

 

#19 07. 03. 2020 23:56

vanok
Příspěvky: 14310
Reputace:   740 
 

Re: Dělitelnost jedenácti

↑ Ferdish:,
Ano, to je dobra poznamka.  👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson